Isomorfo campos finitos grado tienen la misma dimensión en el campo base

Question

Deje $K/F$ ser una extensión de campo y $L_1,L_2$ subcampos de $K$ tal que $L_1$ $L_2$ han finito de grado por encima del $F$.

Qué $L_1 \cong L_2$ implican $[L_1 : F ]=[L_2 : F]$? Obviamente, si el isomorfismo corrige $K$ (lo que no siempre es necesariamente verdadera) el resultado se mantiene. El resultado, incluso tiene si $F$ es de finito de grados durante su primer campo.

Cuando se trata de la prueba usual, tenemos que $[L_1 : F] = [L_1^{\theta} : F^{\theta} ]=[L_2 : F^{\theta}]$ al $\theta \,\colon L_1 \rightarrow L_2$ es el dado por el isomorfismo. Pero no veo cómo se relacionan $F^{\theta}$ $F$en una manera fácil. Cualquier ayuda o contraejemplo?

Muchas gracias de antemano.

Answer 1

No.

Un simple contraejemplo es $K=\Bbb{Q}(\pi)$, $F=\Bbb{Q}(\pi^6)$, $L_1=\Bbb{Q}(\pi^2)$ $L_2=\Bbb{Q}(\pi^3)$ . Entonces

1. Todos los campos $K,F,L_1,L_2$ son simples trascendental extensiones de $\Bbb{Q}$ y por lo tanto todos ellos son isomorfos a cada uno de los otros.
2. $[K:F]=6$, $[L_1:F]=3$, $[L_2:F]=2$.

Answer 2

Este es de hecho un muy sutil pregunta. Si usted asume el estándar $F$-espacio vectorial de las estructuras en ambos $L_1$$L_2$, esto no tiene que ser cierto en general. Por ejemplo, tomemos $L_1=\mathbb{C}(X^2)$, $L_2=\mathbb{C}(X)$, y tome $F=\mathbb{C}(X^2)$. Claramente el mapa de $X^2 \to X$ le da un isomorfismo de$L_1$$L_2$. Tenga en cuenta que en virtud de la costumbre, $F$- espacio vectorial de las estructuras, tenemos, $$[L_1:F]=[\mathbb{C}(X^2):\mathbb{C}(X^2)]=1$$

Por otro lado, $$[L_2:F]=[\mathbb{C}(X):\mathbb{C}(X^2)]=2$$

La idea aquí, es que bajo este isomorfismo, $\mathbb{C}(X)$ queda dotada con diferentes $\mathbb{C}(X^2)$-espacio vectorial de la estructura, en la que usted tiene $[\mathbb{C}(X):\mathbb{C}(X^2)]=1$. La estructura, como estoy seguro que notarás al instante, es la siguiente: $$\forall h \in \mathbb{C}(X^2),g\in \mathbb{C}(X),~~h(X^2).g(X)=h(X)g(X) $$

Así, usted puede posiblemente a la conclusión de que $[L_1:F]=[L_2:F]$, siempre y cuando usted está considerando la no-canónica $F$-espacio vectorial estructura.