Se $C(\mathbb{R})$ $D(\mathbb{R})$ isomorfos o no?

Question

Vamos a denotar el anillo de todas las funciones continuas y diferenciables de las funciones de la $\mathbb{R}$$\mathbb{R}$$C(\mathbb{R})$$D(\mathbb{R})$, respectivamente. Quiero saber si estos anillos son isomorfos o no.

De la primera parte de este En un inyectiva anillo homomorphism desde el anillo de funciones continuas para el anillo de funciones diferenciables es claro que si existe un anillo monomorphism que envía 1 a sí mismo, entonces es la identidad en la constante de funciones. Pero no puedo encontrar nada más. Por favor, ayudar. Gracias.

Answer 1

Yo podría estar equivocado, pero en el caso de que por $D(\mathbb{R})$ media $C^{\infty}(\mathbb{R})$, creo que podemos llegar a una contradicción. Supongamos que tenemos un isomorfismo de$C(\mathbb{R})$$C^{\infty}(\mathbb{R})$, se $\varphi$. Definimos una derivación en $C(\mathbb{R})$ como a continuación :

$\forall f\in C(\mathbb{R})$, $\delta(f)=\varphi^{-1}\biggl[\biggl(\varphi(f)\biggr)'\biggr]$.

Por las propiedades estándar de diferenciación, uno puede comprobar que $\delta$, de hecho, define una derivación en $C(\mathbb{R})$. Sin embargo, $C(\mathbb{R})$ admite sólo una derivación, es decir, el trivial de la derivación. Por lo tanto, $Im(\varphi)$ sólo consiste en la constante funciones, y tenemos una contradicción.