¿Cómo fue la diferencia de la Fransén–Robinson constante y el número de Euler encontró?

Question

Recientemente me encontré con la siguiente integral:

$$ \int_{0}^{\infty}\frac{1}{\Gamma(x)}dx $$

Lo que he aprendido es igual a la Fransén-Robinson constante. En los enlaces de la página de wikipedia para el Fransén-Robinson constante, se establece que la diferencia entre Fransén-Robinson constante y el número de Euler puede ser expresada por este:

$$ F = e + \int_{0}^{\infty}\frac{e^{-x}}{\pi^2+\ln^2(x)}dx $$

En la tierra donde hizo la diferencia? ¿Cómo sabemos esto?

Answer 1

Es una consecuencia de la $\Gamma$ reflexión fórmula: $$ \Gamma(z)\,\Gamma(1-z) = \frac{\pi}{\sin(\pi z)} \tag{1} $$ y el Cantarini del truco (también conocido como la transformada de Laplace de la función seno): $$ \int_{0}^{+\infty} \sin(a t)\,e^{-bt} = \frac{a}{a^2+b^2}\tag{2} $$ de los cuales:

$$ \frac{1}{\pi^2+\log^2(x)} = \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin(\pi t)}{\pi} x^{-t}\,dt \qquad \left(\log(x)>0\right)\\\frac{1}{\pi^2+\log^2(x)} = \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin(\pi t)}{\pi} x^{t}\,dt \qquad \left(\log(x)<0\right)\tag{3}$$ por lo $ \int_{0}^{+\infty}\frac{e^{-x}}{\pi^2+\log^2(x)}\,dx$ está relacionado con: $$ \int_{0}^{+\infty}\frac{\sin(\pi t)}{\pi}\,\Gamma(1-t)\,dt = \int_{0}^{+\infty}\frac{dt}{\Gamma(t)}\tag{4}$$