La pregunta que yo le pregunte hace sentido en mucho más generalidad, pero les dejo la traducción para los expertos, ya que sólo estoy buscando un caso especial (y no me sorprendería si la respuesta no generalizar). Voy a dar algunos antecedentes y, a continuación, pedir a mi pregunta como una conjetura, separadas del texto principal.
Deje $\mathbb R^n$ tienen su habitual métrica, y elegir un diferencial de un formulario (= vector de campo) $B$ ("magnético potencial") y un diferencial de cero de la forma (= función) $C$ (el "potencial eléctrico"). A continuación, considere el siguiente de segundo orden de la educación a distancia para con parámetros trazados $\gamma: [0,T] \to \mathbb R^n$: $$ 0 = \ddot \gamma + dB \cdot \dot\gamma + dC \quad\quad \text{(EOM)} $$ Voy a dejar de recoger las señales de cómo los dos forman $dB$ come el vector $\dot\gamma$; acaba de ser coherente.
Entonces (MOE) es no degenerada, y de modo que una solución está determinada por sus condiciones iniciales $(\dot\gamma(0),\gamma(0))$. Para cada una de las $T \in \mathbb R$, vamos a $\phi_T: \mathbb R^{2n} \to \mathbb R^n$ ser el "flujo del tiempo $T$" (en realidad, se define sólo en un subconjunto de a $\mathbb R^{2n}$, dado por $\phi_T(v,q) = \gamma(T)$ para la solución de $\gamma\\,$ a (MOE) con las condiciones iniciales $(\dot\gamma(0),\gamma(0)) = (v,q)$. A continuación, $\phi_T$ es suave; de hecho, es suave en la $T$ variable. Esto se desprende de algunas normas fundamentales resultado en Odas, para la que no tengo una buena referencia.
Un camino de $\gamma: [0,T] \to \mathbb R^n$ es clásica si satisface (MOE); su duración es el número de $T$. También podemos considerar las rutas con duración negativos por los que fluye hacia atrás, aunque no será necesario hacerlo.
Definición: Un punto de $(v,q) \in \mathbb R^{2n}$ es focal para la duración de la $T$ fib ($\phi_T(v,q)$ está definido y) $\det(\partial \phi_T(v,q)/\partial v) = 0$; es decir, fijar la $q$, creo que de $\phi_T(-,q)$ como una función de la $v$ solamente, y pedir que su diferencial es degenerado. Mediante la identificación de $(v,q)$ con su clásica ruta, vamos a hablar de "focal (clásica) rutas de acceso" para determinado de duración.
Es un estándar de los resultados (ver, por ejemplo, Milnor del Morse Teoría) que para un determinado punto de $(v,q) \in \mathbb R^{2n}$, las duraciones $T\in \mathbb R$ por que es focal discretamente separados. Tenga en cuenta que todos los $(v,q)$ es focal para la duración de la $T=0$.
La proposición: Vamos a $\gamma$ ser una clásica ruta de acceso de duración $T$. Entonces es no-focal si y sólo si se extiende a una familia de las clásicas rutas sin problemas parametrizadas por el límite de las posiciones de $(\gamma(0),\gamma(T))$.
Croquis de la Prueba: Ser focal para la duración de la $T$ es un estado cerrado en $\mathbb R^{2n}$, de modo que puede variar $\gamma(0) = q$, mientras que los restantes no focal. Pero para no focal caminos que podemos variar $\gamma(T)$ mediante el teorema de la función inversa.
De todos modos, pick $q \in \mathbb R^n$, e $v = B(q)$ (o $-B(q)$ dependiendo de su convención de signos: para los expertos, yo quiero que el impulso a desaparecer). Luego de algunos $\epsilon>0$, para todos los $T\in (0,\epsilon)$, $(v,q)$ no es focal para la duración de la $T$. Por lo tanto, para cada una de las $T \in (0,\epsilon)$, puedo encontrar una abierta vecindario $q \in \mathcal O_0 \subseteq \mathbb R^n$ y el otro abierto vecindario $\mathcal O_1 \subseteq \mathbb R^n$, de modo que para $(q_0,q_1) \in \mathcal O_0 \times \mathcal O_1$, hay un no-focal clásica ruta de $\gamma$ de duración $T$ con $\gamma(0) = q_0$, $\gamma(T) = q_1$, según suavemente sobre las condiciones de frontera, y de tal manera que la clásica ruta de acceso de duración $T$ y condiciones iniciales $(\dot\gamma(0),\gamma(0)) = (v,q)$ está contenida dentro de esta familia.
Tenga en cuenta que como $T \to 0$, la clásica ruta de acceso con condiciones iniciales $(\dot\gamma(0),\gamma(0)) = (v,q)$ termina en un punto muy cercano a $q$. No sé si puedo tomar la $\mathcal O_1$ que realmente contenga $q$.
Me gustaría invertir la dirección de decisiones: me gustaría recoger $\mathcal O_0,\mathcal O_1$ primera.
Pregunta/Conjetura: Vamos A $q \in \mathbb R^n$. Entonces existen abiertos vecinales $\mathcal O_0,\mathcal O_1 \subseteq \mathbb R^n$,$q \in \mathcal O_0,\mathcal O_1$, e $\epsilon>0$ tal forma que:
- Existe una familia de las clásicas rutas de $\gamma$ con el límite de los valores de variación en $\mathcal O_0,\mathcal O_1$ y con una duración que varía en $(0,\epsilon)$. I. e. deje $\Delta = \{ (T,t) \in \mathbb R^2 : T \in (0,\epsilon), t\in [0,T] \}$; entonces no es una función suave $\gamma: \mathcal O_0 \times \mathcal O_1 \times \Delta \to \mathbb R^n$ con: (a) $\gamma(q_0,q_1,T,-)$ es clásica para cada una de las $(q_0,q_1,T) \in \mathcal O_0 \times \mathcal O_1 \times (0,\epsilon)$, y (b) $\gamma(q_0,q_1,T,0) = q_0$$\gamma(q_0,q_1,T,T) = q_1$.
- Para cada una de las $T \in (0,\epsilon)$, la clásica ruta de acceso de duración $T$ con condiciones iniciales $(B(q),q)$ aparece como algunos $\gamma(q,q_1,T,-)$.
Para la comparación, el correspondiente teorema acerca de geodesics en un colector de Riemann es estándar: alrededor de cualquier punto usted puede encontrar un pequeño barrio tal que dos puntos cualesquiera en el barrio puede ser conectado por una única geodésica que no salir del barrio. De hecho, se sigue de la proposición y la observación de que los cambios en la duración de una geodésica fija las condiciones de contorno cantidades a una lineal volver a parametrizar.
