Encontrar el infinito producto $\prod_{n=1}^\infty\; \left(1+ \frac{1}{\pi ^2n^2}\right) $

Question

¿Cómo puedo encontrar:

$$\prod_{n=1}^\infty\; \left(1+ \frac{1}{\pi ^2n^2}\right) \quad$$

Estoy bastante seguro de que el infinito producto converge, pero si no por favor, hágamelo saber si he cometido un error. Además, tengo una buena explicación de por qué iba alguien a llegar a la respuesta.

Gracias mucho.

Answer 1

Un infinito producto $\prod_{n \ge 0} (1 + u_n)$ donde $u_n > 0$ converge si y sólo si $\sum_{n \ge 0} u_n$ converge, y $\sum_{n \ge 1} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$ es un famoso resultado por Euler.

Euler de la fórmula del producto para $\sin z$ es difícil de probar, pero intuitivo (que tiene sus raíces en $\pm n \pi$): $$ \frac{\sen z}{z} = \prod_{n \ge 1} \left( 1 - \frac{z^2}{\pi^2 n^2} \right) $$ Esto da directamente a $\dfrac{\sin i}{i} = \dfrac{e - e^{-1}}{2}$ de su producto

Answer 2

El producto converge porque $\sum n^{-2}$. Puede usted ver por qué? ¿Cuál es la mayor suma que, posiblemente, puede aparecer cuando se expanda el producto?

En efecto, supongamos que $a_n\geq 0$ por cada $n$. Set $$p_n=\prod_{k=1}^n a_k$$

A continuación, $\log p_n=\sum_{k=1}^n\log a_k$

Si $\sum a_k$ converge, entonces $a_k\to 0$, entonces a partir de la $$\lim_{x\to 0}\frac{\log (1+x)}x=1$$ so that $$\lim \frac{\log (1+a_n)}{a_n}=1$$

la prueba de comparación nos dice $\log p_n$ converge, decir a $\ell$. Por la continuidad del logaritmo, $p_n$ debe converger a$p$$\log p=\ell$, de modo que $\lim p_n=e^\ell$.

Por el contrario, supongamos $\log p_n=\sum_{k=1}^n\log a_k$ converge. Esto significa que $\log(1+a_k)\to 0$, de modo que $a_k\to 0$. Comparación de los rendimientos de $$\lim \frac{\log (1+a_n)}{a_n}=1$$ that $$\sum a_k$$ converge demasiado. Por lo tanto, hemos demostrado

La PROPOSICIÓN Si $a_n\geq 0$ $\prod (1+a_k)$ converge si y sólo si $\sum a_k$ () si y sólo si $\sum \log(1+a_k)$).