cupón de colector y de las cadenas de Markov

Question

Necesito ayuda con mi tarea de la probabilidad. Necesito demostrar que si $X(n) =$ el número de cupones que el coleccionista tiene en el tiempo $n$ a continuación, $X(n)$ representa una cadena de Markov.

He demostrado que $$P(X(m+1)=j)= \casos{ \frac{X(m)}{n}&\text{si $j=X(m)$}\\\ 1-\frac{X(m)}{n}&\text{si $j=X(m)+1$}\\\ 0 &\text{en caso contrario}.}$$ Ahora necesito mostrar, a partir de allí que $P(X(m+1)=j|X(m)=Km,\ldots ,X(0)=K0)=P(X(m+1)=j|X(m)=Km)$

gracias por la ayuda. benny.

Answer 1

Esta respuesta es incompleta y potencialmente engañosa, por lo que Voy a postear un comentario extendido.

Primero de todo, hay algo mal con el OP de la fórmula. El el lado izquierdo es una probabilidad cual no es un número al azar, mientras que el lado derecho depende de la variable aleatoria $X(m)$. Probablemente lo que quiere decir es

$$ P\big(X(m+1)=j\,|\, X(m)\big)= \casos{ \frac{X(m)}{n}&\text{si $X(m)=j$}\\[3pt] 1-\frac{X(m)}{n}&\text{si $X(m)=j-1$}\\[5pt] 0 &\text{en caso contrario}.}$$

Esta fórmula describe la distribución condicional de $X(m+1)$$X(m)$. Por definición, esto sólo depende de $X(m)$ e no $X(m-1),\dots, X(1), X(0)$, y esto es cierto si o no el proceso de $X$ satisface la propiedad de Markov.

El OP es correcto afirmar que para demostrar la propiedad de Markov, debe considere la posibilidad de probabilidades condicionales de la forma $$P(X(m+1)=j\,|\,X(m)=K_m,\ldots ,X(0)=K_0),$$ o, alternativamente, las probabilidades conjunta de la forma $$P(X(m)=K_m,\ldots ,X(0)=K_0).$$

Para el cupón colector del problema, esto es un poco de dolor, pero no es muy difícil y es que se ha hecho para demostrar que $X$ es de Markov.

---

Añadido: Aquí es un simple ejemplo que tal vez explica mi protesta un poco mejor.

Sorteo de tarjetas de una en una, sin reemplazo, en una baraja. Para $1\leq n\leq 52$, vamos $X_n$ ser el color de la tarjeta dibujada en el tiempo $n$. Este es un proceso estocástico con espacio de estado ${\cal S}=\{R,B\}$.

Para $1\leq n <52$, el uso de la intercambiabilidad de encontrar que $\mathbb{P}(X_{n+1}=j\,|\,X_n=i)$ $(i,j)$th entrada en el matriz

$$P= \pmatrix{{25\over 51}&{26\over 51}\\[3pt] {26\over 51}&{25\over 51}}.$$

Por lo $(X_n)$ es el tiempo homogéneo, y tiene una "matriz de transición" $P$ pero, sin embargo, es no Markov.

¿Por qué no? Así, por ejemplo $$\mathbb{P}(X_3=B\,|\,X_2=R,X_1=R)={26\over 50}\neq {26\over 51}=\mathbb{P}(X_3=B\,|\,X_2=R).$$

Answer 2

A juzgar por la upvotes en mi comentario, parece que no se pierda nada, así que...

Creo que usted tiene. Usted ha expresado $P(X(m+1)=j)$ en cuanto al estado anterior $X(m)$ sin hacer referencia a cualquiera de los estados anteriores $X(m−1),X(m−2), \ldots, X(0)$. Eso es suficiente para mostrar que el $X(m)$ es una cadena de Markov.