Para elegir, sin reemplazo, aquí hay una respuesta exacta. Asumiendo $n \geq 2$, así que hay al menos un par, y $1 \leq k \leq \binom{n}{2}$, de modo que usted está eligiendo al menos una pareja, pero no más que el número total de pares, el valor esperado es
$$n - \left(\frac{n^2 - 3n - 2k + 4}{n-1}\right) \frac{\binom{\binom{n}{2} - n + 1}{k-1}}{\binom{\binom{n}{2} - 1}{k-1}}.$$
Podemos asumir que somos la elección de los pares en orden. Deje $X_k$ el número de artículos distintos de $S$ a través de $k$ pares. Deje $Y_i$ ser el número de elementos en la $i$th par que no aparecen en ninguna de las anteriores parejas. Por lo $X_k = \sum_{i=1}^k Y_i$.
Ahora, $Y_i$ es 0, 1 o 2. Desde allí se $\binom{n}{2} - n + 1$ pares que no contienen un elemento dado y $\binom{n}{2} - 2n + 3$ pares que no contengan cualquiera de los dos elementos, tenemos
$$P(Y_i = 1) = \frac{\binom{\binom{n}{2} - n + 1}{i-1} + \binom{\binom{n}{2} - n + 1}{i-1} - 2 \binom{\binom{n}{2} - 2n + 3}{i-1}}{\binom{\binom{n}{2} - 1}{i-1}}$$
y
$$P(Y_i = 2) = \frac{\binom{\binom{n}{2} - 2n + 3}{i-1}}{\binom{\binom{n}{2} - 1}{i-1}}.$$
Así
$$E[Y_i] = 2\frac{\binom{\binom{n}{2} - n + 1}{i-1}}{\binom{\binom{n}{2} - 1}{i-1}}.$$
Se puede demostrar por inducción que
$$\sum_{i=0}^k \frac{\binom{M}{i}}{\binom{N}{i}} = \frac{(N+1)\binom{N}{k} - (M-k)\binom{M}{k}}{(N+1-M)\binom{N}{k}}.$$
Así
$$E[X_k] = \sum_{i=1}^k E[Y_i] = 2\sum_{i=1}^k \frac{\binom{\binom{n}{2} - n + 1}{i-1}}{\binom{\binom{n}{2} - 1}{i-1}} $$
$$= 2\frac{(\frac{n(n-1)}{2}-1+1)\binom{\binom{n}{2}}{k-1} - (\frac{n(n-1)}{2} - n + 1 - k + 1)\binom{\binom{n}{2} - n + 1}{k-1}}{(\binom{n}{2} - 1+1-\binom{n}{2} + n - 1)\binom{\binom{n}{2} - 1}{k-1}}$$
$$= \frac{n(n-1)\binom{\binom{n}{2}}{k-1} - (n^2 - 3n - 2k + 4)\binom{\binom{n}{2} - n + 1}{k-1}}{(n - 1)\binom{\binom{n}{2} - 1}{k-1}}$$
$$= n -\frac{(n^2 - 3n - 2k + 4)\binom{\binom{n}{2} - n + 1}{k-1}}{(n - 1)\binom{\binom{n}{2} - 1}{k-1}}.$$
