En un compacto hiperbólico superficie de Riemann sin límite de la longitud de minimizar geodésica entre dos puntos de $p$ $q$ es único.
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Pensar acerca de una superficie de Riemann de género 2 decir. Este es un 2 orificios de anillos. Tiene una curva sinuosa acerca de uno de sus agujeros. (O más matemáticamente hablando se ha incorporado un círculo que representa un valor distinto de cero homología de clase). Podemos deformar esta curva, de modo que es de longitud para minimizar en su homotopy clase. A continuación, la curva se convierte en una geodésica $C$. A continuación, vamos a $p$ $q$ "opuesto" puntos de $C$, que es la distancia de $p$ $q$a lo largo de $C$ es la mitad de la la longitud de $C$. A continuación, $C$ se divide en dos iguales de longitud geodesics entre $p$ $q$.
Supongo que puede ser incluso más corto geodesics entre el$p$$q$, pero Creo que la elección de la homología de la clase a fin de minimizar la longitud de $C$ debería ordenar que fuera.
Bryan Roth
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Yo no soy un hiperbólico aparejador, pero yo voy a decir que no. Aquí está mi razonamiento:
Deje $C$ ser su compactos hiperbólicos superficie de Riemann, por lo que es el cociente de su cobertura universal, el plano hiperbólico, por un cocompact Fuchsian grupo $\Gamma$. Deje $\pi: \mathbb{H} \rightarrow \Gamma \backslash \mathbb{H} = C$ la cobertura de mapa.
Tenemos puntos de $P$$Q$$C$. Arreglar un ascensor $\tilde{P}$ $P$ y considerar todas las posibles ascensores $\tilde{Q}_{\gamma}$ de $Q$: esta será una órbita completa de $\Gamma$. Para
cada una de las $\gamma \in \Gamma$, no hay una única geodésica en $\mathbb{H}$ $P$ $\tilde{Q}_{\gamma}$y su imagen en $\pi$ es una geodésica de$P$$Q$.
Así que sin duda hay un montón de geodesics en cuestión. Los de longitud mínima se va a corresponder a las elecciones de $\gamma$ de manera tal que la distancia hiperbólica de $P$ $\tilde{Q}_{\gamma}$es mínimo. Pero parece bastante claro que podemos optar $P$ a fin de ser equidistante entre dos puntos: seleccione el punto de $Q_1$, y, a continuación, elija $Q_2$ a ser distinta de la de $Q_1$, se encuentran en el mismo $\Gamma$-órbita $Q_1$ y para estar más cercano (no necesariamente de forma exclusiva más cercano!) a $Q_1$ entre todos esos puntos. Deje $P$ ser el punto medio de la línea geodésica arco de$Q_1$$Q_2$. Luego de tanto tiempo como $P$ es al menos tan lejos de cualquier otro punto en el $\Gamma$-órbita de $Q$ es de$Q_1$$Q_2$, en el cociente, tenemos dos de longitud para minimizar geodesics.
Estoy bastante seguro de que usted puede arreglar para que esto ocurra con una elección adecuada de $\Gamma$. Por ejemplo, si $\Gamma$ es tal que, en lo fundamental es un dominio regular hiperbólico octágono con bordes identificados en la forma habitual para obtener un género $2$ cociente, entonces creo que funciona a tomar $Q_1$ $Q_2$ a ser adyacentes vértices del octágono. Véase, por ejemplo, la imagen hacia la parte inferior de esta página:
http://www.math.cornell.edu/~mec/Winter2009/Victor/part4.htm.
Tomas Dabasinskas
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Para complementar la multa respuestas dadas anteriormente, se puede mencionar que en el contexto de un hyperelliptic superficie de Riemann (tales como la superficie de género 2, por ejemplo), el siguiente sencillo de la construcción puede ser dado. Entre todos los pares de puntos de Weierstrass, llevar a la pareja a $A,B$ de los puntos en menos distancia. Entonces hay dos minimizar los segmentos de unirse a $A$ $B$ (se ha cambiado por el hyperelliptic involución). Esto proporciona un contraejemplo. Tenga en cuenta que la unión de los dos segmentos es un sistólica bucle.
