Supongamos que nos dan una probabilidad del espacio $(\Omega, \mathcal{F}, \mathsf P)$ y un aumento de la secuencia de $$\mathcal{F}_1\subset \ldots \subset\mathcal{F}_n\subset \mathcal{F}_{n+1} \subset \ldots \subset \mathcal{F}$$ de $\sigma$-álgebras. Suponga que $\mathsf P|_{\mathcal{F}_n}$ es atomless para cada una de las $n$. Es tan $\mathsf P$ restringido a la $\sigma$-álgebra generada por la unión de $\mathcal{F}_n$ ($n\in \mathbb{N}$)?
Respuestas
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Adam Malter
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96
En realidad, algo mucho más fuerte, es cierto: Si $P$ es una medida en un $\sigma$-álgebra $\mathcal{F}$ $\mathcal{G}\subseteq\mathcal{F}$ $\sigma$- subalgebra en que $P$ es atomless y $\sigma$-finito, a continuación, $P$ es atomless en todos los de $\mathcal{F}$. Para mostrar esto, supongamos $A\in \mathcal{F}$ es un átomo. Entonces para cualquier $B\in \mathcal{G}$, $P(A\cap B)=0$ o $P(A\cap B)=P(A)$. Deje $\mathcal{I}$ ser la colección de todos los $B\in\mathcal{G}$ tal que $P(A\cap B)=0$. A continuación, $\mathcal{I}$ es cerrado bajo contables de los sindicatos, y debe contener todos los $B$ tal que $P(B)<P(A)$. Pero desde $P$ es atomless y $\sigma$-finito en $\mathcal{G}$, cada elemento de la $\mathcal{G}$ puede ser escrito como una unión de countably muchos conjuntos de $B\in\mathcal{G}$ tal que $P(B)<P(A)$. De ello se desprende que $\mathcal{I}$ es de $\mathcal{G}$. Pero, claramente,$\Omega\not\in \mathcal{I}$, por lo que es una contradicción.
Conrado Costa
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3600
Un átomo es indivisible establecido en el sigma álgebra con medida positiva.
Considere la posibilidad de $\mathcal{F}_n$ un sigma álgebra de subconjuntos del espacio $[0,1]^2$.
La construcción es un poco artificial. así que voy a dividirlo en pasos.
1) considerar una de los conjuntos de $[0,1] \cup (n,n+1)\backslash E_n$ como los sets básicos de la sigma álgebra $\mathcal{F}_n$ ($E_n \subset [n-1,n+1]$ es un conjunto numerable)
Tenga en cuenta que no hay átomos en $\mathcal{F}_n$
2) conjunto P([0,1]) = 1
Tenga en cuenta que $[0,1]\in \sigma(\mathcal{F}_1 \cup \mathcal{F}_2)$ $[0,1]$ es indivisible y tiene medida positiva. Por lo tanto es un Átomo.
