¿Entender las técnicas de integración?

Question

¿Podría alguien darme una interpretación geométrica de:

a) Integración por partes

b) Integración por sustitución

Gracias.

Answer 1

_Integración por partes: Una explicación intuitiva y geométrica_ por Sahand Rabbani.

EDIT: la fórmula cov.

La idea geométrica se encierra en el caso particular $f(x)=k$ constante, $g(t)=pt+q$ .

En este caso, la fórmula cov $$(kp)(b-a)=\int_{a}^{b}kp\,dt = \int_{a}^{b}f(g(t))g'(t)\,dt = \int_{g(a)}^{g(b)}f(x)\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)}k\,dx = k(g(b)-g(a))$$ dice que dos rectángulos (¿qué rectángulos?) tienen la misma área.

En el caso general, se requiere una aproximación: suponiendo wlog $g$ aumentando y tomando una partición lo suficientemente fina del intervalo $[g(a),g(b)]$ en cada subintervalo $[t_k,t_{k+1}]$ :

$f(g(t))\approx f(g(x_k))\qquad\qquad\qquad$ ( $f\circ g$ es aproximadamente constante porque es continua),

$g(t)\approx g'(t_k)(t-t_k)+g(t_k)\qquad\ \,$ ( $g$ es aproximadamente lineal porque es diferenciable),

$g'(t)\approx g'(t_k)\qquad\qquad\qquad\ \ \ \ \ \ $ ( $g'$ es aproximadamente constante porque es continua).

Y en cada subintervalo $[x_k,x_{k+1}]=[g(t_k),g(t_{k+1})]$ :

$f(x)\approx f(x_k)\qquad\qquad\qquad\qquad$ ( $f$ es aproximadamente constante porque es continua).

Utilizando las aproximaciones:

$$ \int_{g(a)}^{g(b)}f(x)\,dx = \sum\int_{g(t_k)}^{g(t_{k+1})}f(x)\,dx \approx \sum\int_{g(t_k)}^{g(t_{k+1})}f(x_k)\,dx = $$

$$ \sum(g(t_{k+1})-g(t_k))f(x_k) \approx \sum(g'(t_k)(t_{k+1}-t_k)+g(t_k))-g(t_k))f(x_k) = $$

$$ \sum f(g(t_k))g'(t_k)(t_{k+1}-t_k)\approx \sum\int_{t_k}^{t_{k+1}}f(g(t))g'(t)\,dt = \int_{g(a)}^{g(b)}f(g(t))g'(t)\,dt. $$

Esto, hecho con $\epsilon-\delta$ rigor, será una demostración de la fórmula cov, pero la idea geométrica es la misma que en el caso particular.