Encontrar $\lim \limits_{x\to 0}\frac{\log\left(\cos x\right)}{x^2}$ sin L'Hôpital

Question

$$\lim_{x\to 0}\frac{\log\left(\cos x\right)}{x^2}$$

He sido triyng a:

1. espectáculo $\displaystyle -\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}\Rightarrow\frac{\log\left(\cos x\right)}{x^2}<-\frac{1}{2}$

2. encontrar una función de manera que $\displaystyle f(x)<\frac{\log\left(\cos x\right)}{x^2}$ $\displaystyle \lim\limits_{x\to0}f(x) = -\frac{1}{2}$

Y, a continuación, aplicar el apriete principio, pero no ha logrado ninguno de estos.

Answer 1

SUGERENCIA:

$$\dfrac{\log(\cos x)}{x^2}=\dfrac{\log(\cos^2x)}{2x^2}=-\dfrac12\cdot\dfrac{\log(1-\sin^2x)}{-\sin^2x}\cdot\left(\dfrac{\sin x}x\right)^2$$

Answer 2

Utilice el siguiente:

$$\cos(x)\sim1-\frac12x^2$$

$$\ln(1-x)\sim-x$$

Combinarlos y usted debe obtener

$$\ln(\cos(x))\sim-\frac12x^2$$

$$\lim_{x\to0}\frac{\ln(\cos(x))}{x^2}=-\frac12$$

Answer 3

Pensé que podría ser instructivo para presentar un enfoque que se basa en un conjunto de primaria de las desigualdades, junto con el teorema del sándwich. Para ello, se comenzará con una breve introducción.

IMPRIMACIÓN:

En ESTA RESPUESTA, me mostró el uso de sólo el límite de la definición de la función exponencial y la desigualdad de Bernoulli que el logaritmo de la función satisface las desigualdades

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\frac{x-1}{x}\le \log(x)\le x-1} \tag 1$$

para $x>0$.

Y en ESTA RESPUESTA, he desarrollado el conocido desigualdades introducen a menudo en la geometría

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\theta\cos(\theta)\le \sin(\theta)\le \theta}\tag 2$$

para $0\le \theta\le \pi/2$.

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En primer lugar, escribimos $\cos(x)=1-(1-\cos(x))= 1-2\sin^2(x/2)$. A continuación, el uso de $(1)$ revela

$$\frac{-2\sin^2(x/2)}{1-2\sin^2(x/2)}\le \log(\cos(x))\le -2\sin^2(x/2) \tag 3$$

Luego, utilizando $(2)$, obtenemos

$$\frac{-(x^2/2)}{1-\sin^2(x/2)}\le \log(\cos(x))\le -x^2/2\cos^2(x/2) \tag 4$$

con lo cual, dividiendo $(4)$ $x^2$ rendimientos

$$-\frac12 \frac{1}{1-\sin^2(x/2)}\le \frac{\log(\cos(x))}{x^2}\le -\frac12 \cos^2(x/2)\tag 5$$

Finalmente, aplicando el teorema del encaje a $(5)$ rendimientos

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\lim_{x\to 0}\frac{\log(\cos(x)}{x^2}=-\frac12}$$

Y hemos terminado!

Answer 4

El límite es el logaritmo de la

$$\lim_{t\to0}\left(\cos t\right)^{1/t^2}=\lim_{t\to0}\left(1-2\sin^2\frac t2\right)^{1/t^2}=\lim_{t\to0}\left(\left(1-2\sin^2\frac t2\right)^{1/\sin^2(t/2)}\right)^{\sin^2(t/2)/t^2}.$$

La expresión en el interior de la exterior paréntesis tiende a $e^{-2}$, mientras que el exponente es

$$\left(\frac12\frac{\sin\frac t2}{\frac t2}\right)^2$$ which tends to $1/4$.

Por lo tanto,

$$-\frac12.$$

Answer 5

$$\lim\limits_{x→0}\frac{\log(\cos x)}{x^2}=\lim\limits_{x→0}\frac{\log(1+(\cos x-1))}{x^2}=\lim\limits_{x→0}\frac{\log(1+(\cos x-1))}{\cos x-1}\lim\limits_{x→0}\frac{\cos x-1}{x^2}=\lim\limits_{x→0}\frac{\log(1+(\cos x-1))}{\cos x-1}\lim\limits_{x→0}-\frac{1-\cos x}{x^2}=-\frac{1}{2}$$