¿Por qué las matrices ortogonales son generalizaciones de las rotaciones y las reflexiones?

Question

Recientemente tomé un curso de álgebra lineal, todo lo que aprendí sobre la matriz ortogonal es que Q transpuesta es Q inversa, y por lo tanto tiene una bonita propiedad computacional. Recientemente, para mi sorpresa, aprendí que las transformaciones por matrices ortogonales son generalizaciones de las rotaciones y reflexiones. Preservan longitudes y ángulos. ¿Por qué es esto cierto?

Por otro lado, me gustaría aprender más sobre el álgebra lineal, en particular con énfasis en la visualización o las interpretaciones geométricas como la de arriba.¿Hay algún buen libro de texto o recursos para eso?

Answer 1

Si $X$ y $Y$ son vectores columna en $\Bbb R^n$ su producto escalar puede calcularse mediante la multiplicación fila-columna como $$ \left<X,Y\right>={}^tX\cdot Y. $$ Ahora bien, si $A$ es una matriz ortogonal, tenemos $$ \left<A\cdot X,A\cdot Y\right>={}^t(A\cdot X)\cdot(A\cdot Y)= {}^tX\cdot{}^tA\cdot A\cdot Y={}^tX\cdot A^{-1}\cdot A\cdot Y={}^tX\cdot Y. $$ esto demuestra que la transformación $X\mapsto A\cdot X$ preserva los productos escalares y, en este sentido, pueden considerarse generalizaciones de las reflexiones y rotaciones.

Answer 2

Como te interesan las visualizaciones (lo siento, no tengo ninguna recomendación de referencia), intentaré explicarlo así. Hay algo que se llama descomposición de valores propios de una matriz, y está muy relacionada con la Descomposición de Schur . Dado que los vectores complejos son difíciles de imaginar, iré aquí por la descomposición real de Schur que nos dice que toda matriz real $A$ puede descomponerse como

$$A = Q T Q^T,$$

donde $Q$ es ortogonal y $T$ es cuasitriangular (bloque triangular con los bloques diagonales de orden $1$ y $2$ ).

Ahora, si suponemos que $A$ también es ortogonal, podemos demostrar que $T$ es cuasidiagonal, es decir, diagonal en bloque con los bloques diagonales de orden $1$ y $2$ y también ortogonal.

Desde $Q$ es ortogonal, sus columnas forman una base ortonormal. En otras palabras, esto es muy parecido al sistema de coordenadas estándar, excepto que está rotado en algunas direcciones (los vectores de extensión siguen siendo ortogonales y tienen la longitud $1$ ).

Así, en esa base ortonormal, el operador ortogonal es sólo una matriz cuasidiagonal

$$T = T_1 \oplus T_2 \oplus \cdots \oplus T_k = \operatorname{diag}(T_1, T_2, \dots, T_k),$$

y sus elementos diagonales pueden ser:

• $T_i = 1$ que es un reflector nulo (no hace nada);
• $T_i = -1$ que es un simple reflector a lo largo del vector de coordenadas correspondiente (columna de $Q$ );

• una matriz de orden $2$ con valores propios complejos conjugados de módulo $1$ es decir,

  $$T_i = \begin{bmatrix} a & b \\ -b & a \end{bmatrix} \quad \text{or} \quad T_i = \begin{bmatrix} a & b \\ b & -a \end{bmatrix},$$

  $|\det T_i| = 1$ . La primera de ellas es una rotación, y la segunda es una rotación compuesta con una reflexión a lo largo del segundo de los dos ejes de coordenadas correspondientes.

Así que, básicamente, la matriz ortogonal no es más que una combinación de reflejos y rotaciones unidimensionales escritas en una base ortonormal adecuadamente elegida (el sistema de coordenadas al que estás acostumbrado, pero posiblemente rotado).

Un dato curioso: Todas las matrices ortogonales (rotaciones pares) de orden $n$ pueden presentarse como composiciones de a lo sumo $n$ reflectores. Esto se llama Teorema de Cartan-Dieudonné y funciona para campos más generales que $\mathbb{R}$ y todas las formas bilineales simétricas no degeneradas (léase: generalizaciones del producto escalar estándar ).

Answer 3

Las matrices ortogonales conservan los ángulos porque dejan intacto el producto escalar:

$$(Qv,Qu) = (Q^{\ast}Qv,u) = (v,u).$$

Como consecuencia, $\|Qu\| = \|u\|$ y, por tanto, el ángulo entre $u$ y $v$ no cambia bajo la transformación ortogonal.

Como caso particular, las rotaciones y reflexiones son transformaciones lineales ortogonales.