Borel suma de $ 1!+2!+3!+.... $

Question

Sé que el Borel suma de $ \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}n! $ $ \int_{0}^{\infty} dx \frac{e^{-x}}{1+x} $

pero, ¿qué sucede con la suma de $ \sum_{n=0}^{\infty}n! $

el Borel suma debe ser $ \int_{0}^{\infty} dx \frac{e^{-x}}{1-x} $ que tiene un polo en $ x=1 $ usando Shothotsky la fórmula puedo conseguir

$$ PV \int_{0}^{\infty} dx \frac{e^{-x}}{1-x}-i\pi e^{-1} $$

sin embargo, este es un número complejo.

Answer 1

Hemos asintótica de la serie $$ e^{-x} \text{Ei}(x) \sim \sum_{j=0}^\infty \frac{j!}{x^{j+1}} \qquad \text{como } x \+\infty $$

Podemos interpretar "Borel suma" como: "Vamos a enchufar $x=1$, incluso a pesar de que la serie diverge allí!" $$ e^{-1}\text{Ei}(1) \aprox 0.69717488 $$

Answer 2

(Este debe ser un comentario a @GEdgar la respuesta, pero no se ajustan a la entrada de la caja)

En un artículo en el que nos encontramos con una curiosa discusión acerca de Arce de suma a esta serie en un valor complejo donde el valor real es el que GEdgar puntos.

Acabo de insertar la captura de pantalla (no tiene el software para extraer el texto muy bien):
(...)

(...)
Se recuerda al lector, que las cosas están lejos de ser trivial...