El fuerte operador de límite de una secuencia de operadores unitarios

Question

Si $\mathcal H$ es un espacio de Hilbert y $U_n \in B(\mathcal H)$ es un fuerte operador convergente secuencia de operadores unitarios, decir $U_n\rightarrow U$, es cierto que $U$ es unitaria? Más explícitamente, suponga $\|(U_n-U)x\|\rightarrow 0$ $n \rightarrow \infty$ todos los $x\in \mathcal H$$U_n U_n^*=1= U_n^*U_n$, entonces es cierto que $UU^*=1= U^*U$?

Está claro que $U$ es una isometría, es decir, $\|Ux\|=\|x\|$ todos los $x\in\mathcal H$, por lo que es suficiente para mostrar que $U$ a, o que a $U^*$ es una isometría. Claramente, la afirmación, a continuación, se aplica en el finito dimensionales de configuración.

Está claro que $U$ es unitaria si la convergencia ocurre en la norma, ya que esto implica que $U_n\rightarrow U$ $U_n^*\rightarrow U^*$ en el fuerte del operador de la topología, asegurando que $U$ $U^*$ son isometrías (y, por tanto, que el $U$ es unitaria).

También, es claro que $\langle U_n^* x,y\rangle\rightarrow\langle U^* x,y\rangle$. De ello se sigue que si $U_n^*$ converge en el fuerte del operador de la topología, a continuación,$U_n^*\rightarrow U^*$, otra vez acabado el argumento.

Con el fin de encontrar un contraejemplo uno tiene que encontrar una secuencia unitaria $U_n$ que converge en el fuerte de operador de topología pero no converge en la norma, mientras que $U_n^*$ converge débilmente, pero no fuerte. $U=\lim_{n\rightarrow\infty} U_n$ no puede ser en (pero debe ser una isometría) y $U^*=\lim_{n\rightarrow\infty} U_n^*$ no puede ser una isometría.

Cualquier ayuda o sugerencia hacia una prueba o contraejemplo será muy apreciada!

Answer 1

$U$ no necesita ser unitaria. Deje $U_n$ ser el mapa en $\ell^2$ que envía a $e_j\mapsto e_{j+1}$ $j=1,\ldots, n$, $e_{n+1}\mapsto e_1$, y $U_n$ es la identidad en $L(\{e_j: j>n+1\})$.

A continuación, $U_n$ es unitaria (envía un ONB a un ONB de nuevo), sino $U=S$ (el cambio) es sólo una isometría porque $e_1$ no está en el rango.