El uso de Series de Taylor método para solucionar $y''-2xy+y=0$

Question

Me estoy haciendo un poco de práctica de problemas para la resolución de las ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden, y estoy un poco pegado en esto.

Aquí es lo que tengo:

$y''-2xy'+y=0$

Deje $y = \sum_{n=0}^{\infty} C_nx^n \implies y' = \sum_{n=0}^{\infty} nC_nx^{n-1} \implies y'' = \sum_{n=0}^{\infty} n(n-1)C_nx^{n-2} $

Sustituyendo esto en la educación a distancia, y me sale:

$$ \sum_{n=0}^{\infty} n(n-1)C_nx^{n-2} -2\sum_{n=0}^{\infty} nC_nx^{n}+ \sum_{n=0}^{\infty} C_nx^n = 0$$

A continuación, obtener de cada término para $x^n$ y el inicio de cada suma en $n=0$, tengo:

$$ \sum_{n=0}^{\infty} [(n+2)(n+1)C_{n+2}-2 nC_n+ C_n]x^n = 0 $$ $$ \implies C_{n+2} = \frac{(2n-1)C_n}{(n+2)(n+1)}$$

Me doy cuenta de que esta separa en dos series de pares y los impares términos, pero estoy teniendo problemas con la determinación de la fórmula general para $C_n$ para cada serie:

Para $n$ incluso:

Al $n=0: C_2 = \frac{-C_0}{2} $

Al $n=2: C_4 = \frac{3C_2}{4 \cdot 3} = \frac{-3C_0}{4!} $

Al $n=4: C_6 = \frac{7C_4}{6 \cdot 5} = \frac{-7 \cdot 3C_0}{6!} $

Al $n=6: C_8 = \frac{11C_6}{8 \cdot 7} = \frac{-11 \cdot 7 \cdot 3C_0}{8!} $

Para $n$ extraño:

Al $n=1: C_3 = \frac{C_1}{3 \cdot 2} $

Al $n=3: C_5 = \frac{5C_3}{5 \cdot 4} = \frac{5C_3}{5!} $

Al $n=5: C_7 = \frac{9C_5}{7 \cdot 6} = \frac{9 \cdot 5C_1}{7!} $

Al $n=7: C_9 = \frac{13C_7}{9 \cdot 8} = \frac{13 \cdot 9 \cdot 5C_1}{9!} $

Principalmente estoy encontrando difícil determinar el ormula cerrada para el numerador de cada serie, así que no puedo calcular el radio de convergencia de cada uno de ellos.

Muchas gracias, cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Básicamente lo que necesitas es una notación para cosas como $1\cdot5\cdot9\cdot13\cdots$. Estas son generalizaciones de los factorial, donde los números con incremento de más de $1$ se multiplican. Cuando el incremento es $2$ esto se llama doble factorial $n!!:=n(n-2)(n-4)\cdots$, y cuando el incremento es $4$ es cuádruple factorial $n!!\,!!:=n(n-4)(n-8)\cdots$, por lo que $1\cdot5\cdot9\cdot13=13!!\,!!$, $3\cdot7\cdot11=11!!\,!!$. Todos estos son casos particulares de la multifactorial. Con esta notación $$C_{n}=-\frac{(2n-5)!!\,!!}{n!}C_0\text{ and } C_{n}=\frac{(2n-5)!!\,!!}{n!}C_1$$ dependiendo de si $n$ es par o impar. Esto le da dos soluciones linealmente independientes, uno incluso uno impar.

Como para calcular el radio de convergencia en realidad no necesita una fórmula explícita. Desde ambas soluciones han solo o sólo impar poderes de la fórmula de relación para el radio no puede ser utilizado, pero la aplicación de la prueba de razón de directamente da $\lim_{n\to\infty}\frac{|C_{n+2}x^{n+2}|}{|C_{n}x^n|}<1$ desde el consecutivo de las competencias en cada una de las series se diferencian por $2$. Esto sólo requiere conocer el límite de$\frac{|C_{n+2}|}{|C_{n}|}|x|^{2}=\frac{(2n-1)}{(n+2)(n+1)}|x|^{2}$, $0$ cualquier $x$. Por lo tanto, ambas series convergen todas partes y tanto los radios $\infty$.

Answer 2

Bueno, puede ser que estoy equivocado, pero parece que, para mí, una fórmula general puede ser deducida a partir de su recurrente: $$ C_{2n}=\frac{(2n-2))!}{(2n)!} \prod_{i=1}^n (4i-5) C_0\\ C_{2n+1}=\frac{(2n-1))!}{(2n+1)!} \prod_{i=1}^n (4i-3) C_1\\ $$ El producto también puede expresarse en factoriales pero me deje hacer por alguien más :). $C_0$ $C_1$ son libres constante.

Answer 3

A partir de su última relación $$ C_{n+2} = \frac{(2n-1)C_n}{(n+2)(n+1)}$$ it seems that $$C_n=\frac{2^{n-\frac{9}{2}} \Gamma \left(\frac{n}{2}-\frac{1}{4}\right) \left({C_1} \left((-1)^n-1\right) \Gamma \left(-\frac{1}{4}\right)-2 {C_0} \left((-1)^n+1\right) \Gamma \left(\frac{1}{4}\right)\right)}{\pi \Gamma (n+1)}$$ which effectively separates the $C$'s for odd and even values because of the $\Big((-1)^n\pm 1\Big)$ terms which multiply the $C_0$ and $C_1$ términos.

Este modo le da $$C_{2n}=-\frac{2^{2 n-\frac{5}{2}} \Gamma \left(\frac{1}{4}\right) \Gamma \left(n-\frac{1}{4}\right)}{\pi \Gamma (2 n+1)}C_0$$ $$C_{2n+1}=-\frac{ 2^{2 n-\frac{5}{2}} \Gamma \left(-\frac{1}{4}\right) \Gamma \left(n+\frac{1}{4}\right)}{\pi \Gamma (2 n+2)}C_1$$