Si $f(x)+f'(x)-\frac{1}{x+1}\int_{0}^{x}f(t)dt=0$ y $f(0)=0$ entonces, ¿qué es $f'(x)$ ?

Question

$f\in C^{1}[0,\infty)$ , $f(0)=0$ y $$ f(x)+f'(x)-\frac{1}{x+1}\int_{0}^{x}f(t)dt=0 $$ entonces $f'(x)=$ ?

He intentado de las siguientes maneras. En primer lugar $F(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt$ entonces nos queda resolver una EDO de segundo orden con condición inicial $F(0)=0$ y $F'(0)=0$ pero el problema es que me parece que no es tan fácil resolverlo.

Espero que haya otras formas de manejarlo que un alumno de un año pueda entender. (He intentado escribir $g(x)=f(x)e^x$ para reescribir la ecuación, pero no lo hace más fácil)

Answer 1

Multiplica ambos lados por (x+1). Luego diferenciar. Obtendrás

$$(x+1) f''(x)+(x+2) f'(x)=0$$

Resuelve esta ecuación. La solución es

$$f(x)=C_1 \text{Ei}(-x-1)+C_2$$

Ahora encuentra la derivada:

$$f'(x)=\frac{C_1 e^{-x}}{x+1}$$

De su condición de que $f(0)=0$ se deduce que $f'(0)=0$ y como tal, $C_1=0$ . Así que $f(x)$ es una constante cero.

Answer 2

Puede intentar ampliar $f(x)$ como una serie en torno a $x=-1$ : $$f(x) = \sum a_n(x+1)^n$$ De modo que tu ecuación se convierte en: $$a_n (x+1)^n + n a_n (x+1)^{n-1} - \frac{a_n (x+1)^n}{n+1} + \frac{a_n}{(n+1) (x+1)}=0$$ $$(n+1)a_n(x+1)^{n+1} + n (n+1)a_n (x+1)^{n} - a_n (x+1)^{n+1} + a_n=0$$ Puesto que usted sabe que $f(x)=0$ , $$(n+1)a_n + n (n+1)a_n = 0 \ \ \rightarrow \ \ \forall n:a_n = 0$$ Por tanto, la única analítica solución es $f(x)=0$ pero, por supuesto, también pueden existir soluciones no analíticas, aunque lo dudo.

Edita: Como ha demostrado @Anixx tampoco hay soluciones no analíticas.