Suma de $\sum_{n \geq 1} \frac{(\ln x +1)^n}{n^n}$

Question

Quiero encontrar la suma de la siguiente serie

$$\sum_{n \geq 1} \frac{(\ln x +1)^n}{n^n}$$

El uso de los teoremas de integración y diferenciación de la serie. Puedo establecer $t=\ln x+1$ por lo que me sale $$\sum_{n \geq 1} \frac{t^n}{n^n}$$

Pero entonces, no sé cómo proceder, ya que el $n^n$ es difícil ver como el resultado de una diferenciación o integración. ¿Cómo puedo ver?

Answer 1

Sólo una sugerencia:

Para $a\in\mathbb{R}\setminus \{-\frac{1}{k}|k\in\mathbb{N}\}$ es $$\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{x^k}{(ak+1)^{k+1}}=\int\limits_0^1 t^{-xt^a}dt $$

y la base de este resultado es el cálculo de $\enspace\int\limits_0^1 t^b(\ln t)^cdt\enspace$.

Por lo tanto, con $a:=1$ $x$ sustituidos por $\ln x+1$ obtenemos $$\sum_{n \geq 1} \frac{(\ln x +1)^n}{n^n}=(\ln x+1)\int\limits_0^1 t^{-t(\ln x +1)}dt \enspace.$$