¿Son subconjuntos existencialmente definidos de conjuntos algebraicos afines las uniones de un número finito de conjuntos algebraicos afines?

Question

Considere un conjunto de polinomios en $ \mathbb {C}[x_1, \dots ,x_n]$ . El lugar cero de estos polinomios $Z$ es un subconjunto de $ \mathbf {A}^n$ y es un conjunto algebraico afín.

Ahora, considere el siguiente subconjunto de $ \mathbf {A}^{n-1}$ : $$ S = \left \{ (x_1, \dots ,x_{n-1}) \, \middle | \, (x_1, \dots ,x_{n-1}) \in \mathbf {A}^{n-1} \text { s.t. } \exists \, x_n \text { where } (x_1, \dots ,x_n) \in Z \right \} $$

¿Esta operación tiene un nombre?

Es $S$ igual a la unión de un número finito de conjuntos algebraicos afines (como conjuntos de puntos)? Claramente si $S$ es finito, esto es verdad.

Si esto no se mantiene, ¿hay alguna otra forma útil de descomponerse $S$ o, de hecho, ¿puede decirse algo útil sobre tales conjuntos?

Answer 1

Aquí hay un ejemplo que muestra que $S$ no siempre es una unión finita de conjuntos algebraicos. Dejemos que $Z$ ser el lugar cero del polinomio único $x_1x_2 - 1$ . Luego $S = \mathbb {A}^1 \setminus \{0\}$ .

Lo que es cierto es que $S$ es siempre una unión finita de conjuntos definidos por muchas ecuaciones polinómicas finitas (conjuntos cerrados básicos de Zariski) y ecuaciones negadas (juegos abiertos básicos de Zariski). Tal conjunto se llama conjunto constructible y el hecho de que la proyección de un conjunto cerrado de Zariski (o más generalmente un conjunto constructible) es un conjunto constructible se conoce como el teorema de Chevalley en geometría algebraica.

El $S$ en el ejemplo anterior se define por la única ecuación negada $x_1 \neq 0$ .

Como lógico, prefiero pensar en esto en términos de Cuantificación-eliminación en la teoría de los campos algebraicamente cerrados. Este resultado, debido a Tarski, dice que un subconjunto de $K^n$ ( $K$ cerrado algebraicamente) definido por una fórmula de primer orden (construida a partir de ecuaciones polinómicas por combinaciones booleanas finitas y cuantificadores ) puede definirse en realidad sin cuantificadores. El conjunto $S$ en su pregunta se define por la fórmula de primer orden $$ \exists x_n\, \bigwedge_ {i = 1}^k f_i(x_1, \dots ,x_n) = 0.$$

Poniendo la fórmula sin cuantificador que obtenemos de la eliminación del cuantificador en forma normal disyuntiva, parece que $$ \bigvee_ {i = 1}^n \bigwedge_ {j = 1}^m \varphi_ {ij}( \overline {x}),$$ donde cada uno $ \varphi_ {ij}( \overline {x})$ es $p_{ij}( \overline {x}) = 0$ o $p_{ij}( \overline {x}) \neq 0$ para algunos polinomios $p_{ij}$ . Se trata explícitamente de una unión finita de conjuntos definidos por muchas ecuaciones polinómicas y ecuaciones negadas.

Answer 2

La operación se llama Proyección . Tbe la teoría de primer orden del campo complejo (que es la misma que la teoría de primer orden de los campos algebraicamente cerrados de la característica $0$ ) admite eliminación del cuantificador . Esto significa que $ \exists x_n (x_1, \ldots , x_n) \in Z$ es equivalente a una combinación propositiva de fórmulas primitivas de la forma $p_j(x_1, \ldots , x_n) = 0$ para algún conjunto finito de polinomios $p_j$ . Por lo tanto $A$ se puede obtener de un conjunto finito de conjuntos algebraicos utilizando la unión, la intersección y el complemento.

[Aparte: los resultados análogos se mantienen sobre el campo real, en cuyo caso los conjuntos definibles se llaman conjuntos semi-algebraicos y las fórmulas primitivas también incluyen fórmulas de la forma $p_j(x_1, \ldots , x_n) > 0$ ].