Yo voy a recoger a dos de mis favoritos (y podría añadir más adelante). Voy a asumir que usted no quiere un ejemplo tales como la criptografía, debido a (a) de ser uno de los que siempre se da y (b) siendo muy aplicado.
Ejemplo 1: Anillo De La Teoría De La
Uno (más barato), la respuesta es que la teoría de los números tiene muchas aplicaciones en el anillo de la teoría (y, de hecho, es en muchas maneras responsable originalmente para su estudio). Así que aquí vemos que ya que la teoría de los números ...
- Motiva la definición de un ideal.
- Ofrece una gran cantidad de ejemplos y contraejemplos de los anillos que son fáciles de jugar y, sin embargo, exhiben propiedades extrañas (p. ej., no UFD anillos de vuelta en el día).
Podríamos hablar largo y tendido acerca de la interacción entre el anillo de la teoría y de la teoría de números, pero déjame darte un relativamente desconocido, pero hermosa conexión. Definir el espacio de valor entero polinomios $R = \text{Int}(\mathbb{Z})$ a ser el conjunto de todos los polinomios de $f(x) \in \mathbb{Q}[x]$ que $f(\mathbb{Z}) \subseteq \mathbb{Z}$. Este es un anillo, y es, de hecho, una de infinitas dimensiones de $\mathbb{Z}$-módulo con base
$$
\left\{\binom{x}{n} = \frac{x(x-1)\cdots (x-n+1)}{n!} \mediados n = 0,1,2,\ldots \right\}.
$$
Esta es una muy interesante anillo que tiene conexiones con algebraicas $K$-teoría y es sin duda entre los más accesibles y mejores ejemplos de un Prüfer de dominio, que es lo que usted consigue cuando usted toma un anillo de Dedekind y relajar el supuesto de que todos los ideales son finitely generado.
Entonces, ¿qué tiene que ver esto con la teoría de los números? Bueno, aparte de la obvia respuesta que tiene que ver con polinomios sobre un campo de número (y de ahí que muchas de las propiedades de $\text{Int}(\mathbb{Z})$ se estableció número teóricamente), una conexión proviene de la estructura ideal de $R$. El valor entero polinomios forman una altura de dos anillos, con los ideales de caer en dos categorías distintas. En primer lugar, hay ideales de la forma $f(x)\mathbb{Q}[x] \cap \text{Int}(\mathbb{Z})$ de cada irreductible $f(x) \in \mathbb{Q}[x]$. Cada uno de estos es de la altura de uno, que yace por debajo de $(0)$. Estos son tan interesante en esta discusión.
La otra, la más relevante el tipo de prime son los ideales en dos capas. El resto de la altura de un primer ideales en $R$ son exactamente los de la forma $(p)$ para algunos de los mejores $p$. Ahora para una prima fija de $p$, lo que están a la altura de los $2$ ideales mentira más de $(p)$? Como resultado, estos son parametrizadas por los elementos de la $p$-ádico enteros de $\mathbb{Z}_p$. Específicamente, para cada uno de los prime $p$ y cada $\alpha \in \mathbb{Z}_p$ el conjunto
$$
\mathfrak{M}_{p,\alpha} = \{f(x) \en \text{Int}(\mathbb{Z}) \mid f(\alpha) \p\mathbb{Z}_p\}
$$
es un ideal maximal en $\text{Int}(\mathbb{Z})$ mentir más de $p$. (Además, no finitely genera!) Esta caracterización es realmente sólo es posible gracias a nuestra pre-existente de la comprensión de los $p$-ádico de las terminaciones de $\mathbb{Q}$ y sus propiedades.
También vale la pena señalar que este anillo y sus hermanos son todavía un tema de intenso estudio en el anillo de la teoría con muchas preguntas interesantes acerca de su estructura aún sin respuesta.
Ejemplo 2: La Luz De La Luna
Como un segundo ejemplo de que incluso los más lejanos, considere la posibilidad de monstruoso luz de la luna. Esto comenzó con la observación de que los coeficientes de Fourier de la $j$-función (una función de gran importancia en el estudio de las formas modulares dentro de la teoría analítica de números) se pueden expresar como combinaciones lineales de las dimensiones de las representaciones irreducibles del monstruo grupo (el más grande de los $26$ esporádica de grupos). Este llegó como una gran sorpresa para todos los involucrados en su descubrimiento, ya que no había ninguna razón para esperar una conexión entre estos dos objetos a la vez. De hecho, las pruebas actuales que tenemos de la conexión aún no han realmente arrojar luz sobre por qué los $j$-función y $\mathbb{M}$ debe ser conectado de esta forma.
Mientras que está más allá del alcance de su pregunta a entrar en detalles, nuestra comprensión actual de la luz de la luna establece conexiones entre las representaciones de el monstruo (de la teoría del grupo), automorphic formas (desde la teoría analítica de números), y (de todas las cosas) de la física (específicamente de conformación del campo de las teorías).
