Demostrando una identidad trigonométrica

Question

¿Cómo se puede demostrar la validez de este trigonométricas de identidad? \begin{equation} 2\arccos\sqrt{x} = \frac{\pi }{2}-\arcsin(2x-1) \end{equation}

Answer 1

Sugerencias:

1. $\arcsin(x)+\arccos(x)=\frac{\pi}{2}$

2. $\cos\,2x=2\cos^2x-1$

Answer 2

EDITADO en respuesta a valdo la respuesta.

Su identidad $$ 2\arccos \sqrt{x}=\frac{\pi }{2}-\arcsin (2x-1),\qquad 0\le x\le 1\tag{0}, $$ may be rewritten as $$ \arcsin (2x-1)=\frac{\pi }{2}-2\arccos \sqrt{x},\qquad 0\le x\le 1\etiqueta{1}. $$

Para la identidad de $(1)$ válido$^1$ es suficiente que

$$ \sin \left( \arcsin (2x-1)\right) =\sin \left( \frac{\pi }{2}-2\arccos \sqrt{ x}\right).\la etiqueta{2} $$ El lado izquierdo de $(2)$ $$\sin \left( \arcsin (2x-1)\right) =2x-1,\tag{3}$ $ y la RHS, $$ \sin \left( \frac{\pi }{2}-2\arccos \sqrt{x}\right) =\cos \left( 2\arccos \sqrt{x}\right) =2\cos ^{2}\left( \arccos \sqrt{x}\right) -1\etiqueta{4}. $$ Y así, es suficiente con que tenemos

$$2x-1 =2\cos ^{2}\left( \arccos \sqrt{x}\right) -1 =2\left( \sqrt{x}\right) ^{2}-1 =2x-1,\qquad x\ge 0,\etiqueta{5} $$

que es, de hecho, una identidad. En consecuencia, todas las identidades son válidos e así, también la identidad dada por $(0)$.

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$^1$ Ver valdo la explicación detallada en su respuesta.

Answer 3

Estoy totalmente de acuerdo con Américo Tavares de la solución, excepto por un pequeño momento.

Si usted demostrar que sin(a) = sin(b) esto no significa que, automáticamente, a = b. Estrictamente hablando, la consecuencia de sin(a) = sin(b) es la siguiente:

a = b + 2nn (n - número entero)

o

a = π - b + 2nn (n - número entero)

La prueba sería completa si podemos demostrar que (1) es posible, mientras que n=0.

Vamos a empezar con LHS. Tenemos arcsin(2x−1). El arcsin de la función de la imagen es [-π/2, π/2]. Es definida sólo para x en [0, 1]. Para x=0, tenemos -π/2, para x=1 tenemos π/2. Y también es fácil ver que la función es ascendente a través de toda la gama definida de x.

Ahora echemos un vistazo a la RHS. arccos(x^[1/2]) está definida para x>=0. Intersección de esta con el dominio de LHS restringimos el análisis para x en [0, 1]. La imagen es [0, π]. Para x=0 tenemos π/2, y para x=1 tenemos de 0. Y también es claro que la función es decreciente.

Teniendo en cuenta el conjunto de la RHS estamos-π/2 para x=0, y π/2 para x=1 (y es ascendente). Lo que equivale a que el lado izquierdo.

Vale la pena agregar que ambas partes están de continuo y suave de las funciones dentro del dominio (excluyendo los extremos).

De todo lo que se puede deducir que, efectivamente, LHS y RHS son iguales en el dominio definido

Answer 4

OK, solo por diversión, vamos a probar con otro método. Si usted sabe de cálculo, muestran que ambos lados tienen la misma derivada respecto a $x$ ( $-1/\sqrt{x-x^2}$ ) y también muestran que las dos expresiones son iguales al $x=1$ (o al $x=0$ o lo que sea).

Answer 5

$\cos(2\arccos(\sqrt{x})) =\cos(\frac{\pi}{2}-\arcsin(2x-1))$

Desde $ \cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\sin(\alpha)$ podemos escribir:

$2(\cos(\arccos(\sqrt{x})))^2 -1= \sin(\arcsin(2x-1))$

$2(\sqrt{x})^2 -1=2x-1$

$2x-1=2x-1$