Mi divertida conjetura sobre la independencia lineal

Question

En el $\mathbb{R}^n$ espacio vectorial, hay distintos $m$ vectores $v_i$ 's ( $1< i\leq m)$ de manera que cada componente tenga valor 0 o 1.

Dejemos que $A_i$ sea el conjunto de $j$ donde $j$ -a componente de $v_i$ es 1.

Además, para cada $i \neq j$ , $A_i$ y $A_j$ tiene en común $k$ elementos. Donde $k$ es un número entero dado $1\leq k <n$ .

Por ejemplo, cuando $n=3, k=1$ . $v_1=(1,1,0), v_2=(1,0,1), v_3=(0,1,1)$ cumplen esas condiciones, ya que $A_1=\{1,2\},A_2=\{1,3\},A_3=\{2,3\}$ .

Mi conjetura es: esos $v_i$ son linealmente independientes.

Con una programación aproximada, esta conjetura era cierta cuando $n \leq 10$ .

Intenté demostrar esta conjetura con la inducción sobre $k$ pero he fallado.

*Algunas personas entendieron mal la pregunta.

En realidad la pregunta es : Para un determinado $n,m,k$ es que todas las familias de vectores con la condición anterior son linealmente independientes.

¿Puede probar o refutar esta conjetura?

Answer 1

Su condición dice que $\langle v_i,v_j\rangle = k$ cuando $i\ne j$ y escribamos $\langle v_i,v_i\rangle = n_i$ . Sea $A$ sea la matriz que tiene el $v_i$ como columnas. A continuación,

$$A^TA = \begin{pmatrix}n_1 & k & k & \cdots & k \\ k & n_2 & k & \cdots & k \\ & & \ddots & & \\ k & k & k & \cdots & n_m \end{pmatrix}$$

Obsérvese que a lo sumo uno de los $n_i$ puede ser igual a $k$ porque dos de ellos tendrían que ser iguales. También hay que tener en cuenta que tenemos que excluir explícitamente el caso de que $v_i = 0$ para algunos $i$ . De lo contrario, estamos acabados: $A^TA$ es claramente invertible por lo que $A$ no puede tener un núcleo no trivial, es decir, ninguna combinación lineal no trivial de sus columnas, el $v_i$ puede dar $0$ .