¿Por qué es $\langle x^2, xy,y^3\rangle$ primaria en $k[x,y,z]$?

Question

Alguien me puede decir una rápida razón por la $\langle x^2, xy,y^3\rangle$ es primario en $k[x,y,z]$?

Estoy tratando de leer una solución y no entiendo esto.

Answer 1

Más generalmente, si $R$ es una parte integral de dominio, a continuación, $I=\left<x^2,xy,y^3\right>$ es el principal ideal de $R[x,y]$. (Tenga en cuenta que $k[x,y,z] \cong k[z][x,y]$, por lo que en este caso, $R=k[z]$.)

Prueba:

Cualquier elemento de $q\in R[x,y]$ puede escribirse de forma única como:

$$q=a + bx + cy + dy^2 + m$$

donde$m\in I$$a,b,c,d\in R$.

Reclamación (sin prueba): $\exists n>0; q^n\in I$ si y sólo si $a=0$.

Ahora suponga $q_i = a_i + b_ix + c_iy + d_iy^2 + m_i$, como en el anterior, donde $i=1,2$.

A continuación, $q_1q_2\in I$ significa que $a_1a_2=0$$a_1b_2+b_1a_2=0$$a_1c_2+c_1a_2=0$$a_1d_2+c_1c_2+d_1a_2 =0$.

Ahora, si $a_2=0$, $q_2^n=0$ algunos $n>0$ por nuestro reclamo por encima y ya está. Así que supongamos $a_2\neq 0$.

A continuación,$a_1=0$. Sustituyendo, obtenemos: $b_1a_2=0$, por lo que, de nuevo desde $a_2\neq 0$, $b_1=0$.

La sustitución de nuevo, tenemos que $c_1a_2=0$$c_1=0$.

Por último, la sustitución de nuevo, tenemos que $d_1a_2=0$$d_1=0$.

Por lo $a_1=b_1=c_1=d_1=0$ y, por tanto,$q_1 = m_1\in I$, y hemos terminado.