Es posible demostrar el Teorema Fundamental del Álgebra para todos los polinomios de grado $n \le 4$?

Question

Recenly me he estado preguntando si es posible demostrar el acuerdo de libre comercio para todos los polinomios de grado $n \le 4$ sin la utilización de matemáticas avanzada pero, en la mayoría de los básicos de álgebra lineal (conceptos tales como vectores propios, autovalores, los factores determinantes etc.). He probado a darle a esto algún pensamiento, pero yo he sido sólo es capaz de hacer muy ingenuo e inútil declaraciones tales como "todos los números reales pueden ser representados como números complejos" y "algunos cuadráticas y cuárticas, tales como $p(x)=x^2 + 1$$p(x)=x^4 -1$, contienen soluciones complejas". Ahora, yo estaría muy agradecido, si de hecho, es posible demostrar que el acuerdo de libre comercio para todos los polinomios con grado de $n \le 4$, si alguien pudiera proporcionar una referencia de algún tipo.

Answer 1

Deje $p\in\mathbb{R}[X]\setminus\mathbb{R}$ ser un polinomio de grado en la mayoría de las $4$.

• Si $\deg(p)=1$, entonces usted puede fácilmente explícita la raíz de $p$.

• Si $\deg(p)=2$, el mismo comentario.

• Si $\deg(p)=3$, también puede explícita de las raíces de $p$ utilizando el método de Cardano.

• Si $\deg(p)=4$, también puede explícita de las raíces de $p$ el uso de este tiempo de Ferrari método.

Tenga en cuenta que si $\deg(p)\geqslant 5$, en el caso general, usted no será capaz de encontrar fórmulas para que las raíces de $p$, es el de Ruffini-teorema de Abel