Lo que está mal? Un comité de $6$ de la gente es ser elegido de un grupo que consiste de $7$ hombres y $8$ mujeres.

Question

Un comité de $6$ de la gente es ser elegido de un grupo que consiste de $7$ hombres y $8$ mujeres. Si el comité debe consistir de al menos $3$ de las mujeres y al menos $2$ hombres, ¿cuántas comisiones diferentes son posibles?

La respuesta correcta en el libro es $3,430$, que se explican como $\dbinom{7}{3} \dbinom{8}{3} + \dbinom{7}{2} \dbinom{8}{4}$. La formación de todos los comités, el con $3$ hombres y $3$ de las mujeres y, a continuación, añadiendo que " para todos los comités, el con $4$ mujeres y $2$ hombres.

A mi manera de pensar acerca de esto es: $10 \cdot \dbinom{7}{2} \dbinom{8}{3}$. Primero, escoja $2$ hombres, a continuación, elija $3$ de las mujeres y, a continuación, hay $10$ gente de izquierda y un puesto en el comité, por lo que se multiplican todos los que por $10$. Pero esto obtiene una respuesta diferente, $11,760$.

Entiendo que el libro obtuvo su respuesta, pero me pregunto por qué mi forma de pensar acerca de las cosas que está mal.

Answer 1

Usted está haciendo, Primero :seleccionar algo:, Segundo :Seleccionar algo:. Desde el orden implicado, que contaba con algunos de los comités tres veces, algunos quadrice.

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Ejemplo

Seleccione 2 hombres: $M_1,M_2$ Seleccione 3 mujeres: $W_1,W_2,W_3$ Seleccione 1 de otra persona: $M_3$ $$\text{is same as}$$ Seleccione 2 hombres: $M_1,M_3$ Seleccione 3 mujeres: $W_1,W_2,W_3$ Seleccione 1 de otra persona: $M_2$

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Así que en lugar contados permutación de un subconjunto de personas de los distintos comités: $$\underbrace{\frac{3!}{2!}}_{\text{thrice}}\binom73\binom83+\underbrace{\frac{4!}{3!}}_{\text{quadrice}}\binom72\binom84$$ en lugar de: $$\binom73\binom83+\binom72\binom84$$

Answer 2

Su respuesta no es correcta, ya que le están contando la misma comité múltiples veces (una por cada elección de que el "extra" de la persona, entre el género con un extra). Así que usted está contando cada comité con $3$ hombres y $3$ mujeres tres veces, y contando cada comité con $2$ hombres y $4$ mujeres cuatro veces. Es por eso que tienes $$ 3{{7}\, seleccione{3}}{{8}\elegir{3}} + 4{{7}\seleccione{2}}{{8}\, seleccione{4}}=11760 $$ en lugar de la respuesta correcta de $$ {{7}\, seleccione{3}}{{8}\elegir{3}} + {{7}\seleccione{2}}{{8}\, seleccione{4}}=3430. $$

Answer 3

Has overcounted. Por ejemplo, un comité de Alice, Betty, Carol, Dan, Ed, Frank podría haber sido elegido como Alice, Betty, Carol Dan, Ed (como la inicial de cinco), y Frank (como extra); o como Alice, Betty, Carol, Dan, Frank (como la inicial de cinco), y Ed (como extra).