Análogo de $\int 1.999 x^{0.999} \mathrm dx \approx x^2$ $\int e^{-x^2} \mathrm dx$

Question

Así que todo el mundo sabe que $\int e^{-x^2} \mathrm dx$ no puede ser evaluado en términos de funciones elementales. Entonces, ¿hay una manera de tener algo aproximado? por ejemplo, aunque lo siguiente no está bien definida, sin embargo, no es demasiado duro para permitir :

$\int 1.999 x^{0.999} \mathrm dx \approx x^2$ , pero en este caso $1.999 x^{0.999}$ puede ser integrado en términos de funciones elementales, pero si no era posible, podríamos haber reemplazado con $2x$.

Mi pregunta es ¿podemos hacer algo similar para $e^{-x^2} $ o de otras funciones que no tienen primaria integrales y de sustitución en algo que es lo suficientemente cerca a la función original que tiene una integral en términos de funciones elementales?

Por "lo suficientemente cerca" yo no formalizado definición de decir lo que quiero decir, por favor, hablar de las cosas que puede hacer "lo suficientemente cerca" en este contexto más significativo.

Answer 1

Hay algunas posibilidades, pero son válidas sólo en un rango limitado de valores de $x$. Lo mismo vale para los su $1.999x^{0.9999}$ realmente :-)

Considere el siguiente $$ D(\frac1{2x}e^{-x^2})=\frac{-2}{2x}e^{-x^2}-\frac1{2x^2}e^{-x^2}=-e^{-x^2}(1+\frac1{2x^2}). $$ Así que por muy grande $x$ la derivada de $-e^{-x^2}/(2x)$ está cerca de a $e^{-x^2}$. Usted puede repetir la dosis y el uso $$ D\left(e^{-x^2}(-\frac1{2x}+\frac1{4x^3})\right)=e^{-x^2}(1+\frac3{4x^4}) $$ o ir incluso más allá.

Estas aproximaciones son útiles sólo para valores relativamente grandes de $x$, por ejemplo, la estimación de la cola de probabilidad de una variable aleatoria normal con un valor, decir $+10$SD o superior. Para pequeños valores de$x$, sin duda, otros tipos de trucos funcionan mejor, pero yo no soy un experto.