Una propiedad de los códigos de Golay

Question

He estado leyendo acerca de Golay códigos, y me encontré con un interesado los bienes que estoy teniendo problemas para mostrar. La propiedad que dice:

Si el $[24, 12, 8]$ binario código de Golay $\mathcal{G}$ es perforado en cualquier coordenada y el código resultante se extiende en la misma posición, entonces el mismo código de $\mathcal{G}$ es obtenido.

¿Alguien puede ofrecer alguna sugerencia? Gracias de antemano!

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Perforación y la ampliación se definen como sigue:

Si $\mathcal{C}$ $[n,k,d]$ código $\mathbb{F}_{q}$, $\mathcal{C}$ es perforado por la eliminación de la misma coordinar $i$ en cada palabra. Si $G$ es un generador de matriz para $\mathcal{C}$, luego de un generador de la matriz para el perforado de código se obtiene por $G$ mediante la eliminación de la columna de $i$ y la omisión de un cero o de filas duplicadas que puede ocurrir.

El código extendido $\mathcal{C}_{ext}$ es el código: $$ \mathcal{C}_{ext} = \{ x_1 x_2 \dots x_{n+1} \in \mathbb{F}_{q}^{n+1} : x_1x_2\dots x_n \in \mathcal{C} \mbox{ with } x_1 + x_2 + \dots + x_{n+1} = 0 \}.$$ El generador de la matriz para el código extendido se obtiene a partir de a $G$ mediante la adición de una columna adicional a$G$, de modo que la suma de las coordenadas de cada fila es 0

Answer 1

No hay palabra en el código de Golay $\mathcal C$ peso de Hamming $1$: de hecho, todos los pesos son incluso. Por lo tanto, no hay ninguna fila de la generador de matriz $\mathcal G$ puede tener una sola $1$ en ella, y la perforación de el código mediante la eliminación de la $i$-ésima coordenada, no se producen todos los ceros filas de $\mathcal G$ que deben ser descartados. El perforado código es, pues, un $[23, 12, 7]$ código $\mathcal C^*$.

Ahora, extender el perforado código de $\mathcal C^*$poniendo el general de verificación de la paridad entre las $(i-1)$-th y $i$-th coordenadas en lugar de al final como en su descripción de la extensión. Recuerde que el el $(i-1)$-ésima coordenada en $\mathcal C^*$ es el mismo que el $(i-1)$-ésima coordenada en $\mathcal C$ mientras que el $i$-ésima coordenada en $\mathcal C^*$ es la $(1+1)$-ésima coordenada en $\mathcal C$ que tengo movido hacia la izquierda por una posición cuando la perforación se produjo.

Un total de comprobación de paridad bit es $0$ si la palabra se extiende tiene incluso el peso y el es $1$ si la palabra se ha extendido impar de peso.

(Si no lo saben ya, usted puede deducir como de la siguiente manera. (i) Después de la extensión, cada fila de la nueva generador la matriz es un peso palabra de código extendido, y así todos los codewords del código extendido (siendo las sumas de las filas del generador la matriz) tiene peso, (ii) Si una palabra clave en el código original, incluso habían peso, la extensión de poco necesariamente debe ser un $0$, mientras que si la palabra tenía impar de peso la extensión de bits tiene que ser necesariamente una $1$ a satisfacer las condición de que todos los codewords en el código extendido incluso han de peso.)

Ahora, supongamos $c \in \mathcal C$ se punciona a $c^* \in \mathcal C^*$ por eliminación de una $0$ bits. A continuación, $\text{wt}(c^*) = \text{wt}(c)\equiv 0 \mod 2$, y de modo que el balance de comprobación de paridad que se inserta será un $0$. Por otro lado, si un $1$ poco fue eliminado en la perforación proceso, a continuación, $\text{wt}(c^*) = (\text{wt}(c) - 1)\equiv 1 \mod 2$ y de modo que el balance de comprobación de paridad bits que se inserta es una $1$. Por lo tanto, la inserción de un conjunto de paridad bit de comprobación para ampliar $\mathcal C^*$ simplemente pone de nuevo en cada una de las $c^*$ el bit que se eliminados durante la perforación de proceso para obtener el perforado de la palabra $c^*$.

Ejercicio: averiguar donde en la anterior prueba hemos utilizado cualquier propiedad específica de Golay códigos.