En primer lugar, por la densidad de Lebesgue teorema, casi todos los puntos $x\in A$ tiene una densidad de
$$
\begin{align}
d(x)=\lim_{\epsilon\to0}\frac{\mu(B_\epsilon(x)\cap a)}{B_\epsilon(x)}&&{\rm(1)}
\end{align}
$$
igual a 1. Del mismo modo, casi todos los puntos en $\mathbb{R}\setminus$ ha Lebesgue densidad de $d(x)=0$. Cada otro punto es conocido como un punto excepcional. Por lo que se acaba de decir, el conjunto de excepcional puntos de un medibles $A\subseteq\mathbb{R}$ medida $0$.
Por otro lado, se sabe que para cualquier medibles $A$ que $A$ y $\mathbb{R}\setminus$ tiene medida positiva, entonces siempre hay al menos un punto excepcional. Por definición, en dichos puntos, uno de los siguientes sostiene.
- El límite de (1) existe y es estrictamente entre $0$ y $1$.
- El límite de (1) no existe.
Aunque es bien sabido que tales excepcional puntos existen, la pregunta es para saber si existe siempre excepcional puntos de caso 1. Es decir, la densidad que existe, pero es estrictamente entre 0 y 1. Para esto, la respuesta es no. Hay establece $$ para que la densidad de Lebesgue no existe en cualquier punto excepcional.
En primer lugar, el siguiente argumento muestra que excepcional puntos de existir. Si $x$ es una densidad de puntos de $A$ y $y$ es una densidad de puntos de $\mathbb{R}\setminus$ entonces, asumiendo que (wlog) que $x < y$ definimos $f\colon[x,y]\to\mathbb{R}$ $f(t)=\mu((x,t)\cap a)-t/2$. Tenemos un total de $f^\prime(x)=1/2$, $f^\prime(y)=-1/2$. Así, el máximo de $f$ se produce en el interior $(x,y)$. Si $t^*$ maximiza $f(t^*)$ entonces,
$$
\frac{\mu(B_\epsilon(t^*))}{\mu(B_\epsilon(x))}=\frac{f(t^*+\epsilon)-f(t^*-\epsilon)}{2\epsilon}+\frac12=\frac{f(t^*)-f(t^*-\epsilon)}{2\epsilon}-\frac{f(t^*)-f(t^*+\epsilon)}{2\epsilon}+\frac12
$$
Mientras $0\le t^*-\epsilon \le t^*+\epsilon\le1$, cada una de las dos primeras fracciones en el lado derecho es no negativa y limitada por 1/4, mostrando que la densidad de Lebesgue, si es que existe, está en el intervalo $[1/4,3/4]$, entonces $t^*$ es un punto singular.
Sin embargo, la pregunta es para saber si hay excepcional puntos donde la densidad de $d(x)$ existe (y es, por definición, estrictamente entre $0$ y $1$). La respuesta es no, no necesariamente. Ahora voy a construir un conjunto $A$ que $d(x)$ no existe en cualquier punto excepcional.
Voy a seguir la interpretación que se le da en la tesis por Jack Grahl, originalmente debido a Szenes y Kurka. Deje que $U$ ser finito, de la unión de intervalos abiertos en la unidad de intervalo $[0,1]$ y $C=(-\infty,0)\cup U$. Para cada uno de los conjunto finito de puntos $x\in\parcial C=\bar C\setminus C$ supongamos que existe positivos reales $r_1(x),r_2(x)$ $\mu(B_{r_1(x)}\cap C)/\mu(B_{r_1(x)})\=\mu(B_{r_2(x)}\cap C)/\mu(B_{r_2(x)})$. Por ejemplo esto es cierto para $U=(u,v)$ con $0 < u < v\le1$ y $u\no=v/2$. A continuación, elija $\delta > 0$ $\mu(B_{r_1(x)}\cap C)/\mu(B_{r_1(x)})-\mu(B_{r_2(x)}\cap C)/\mu(B_{r_2(x)}) > \delta$ para todo $x\in\parcial C$.
Para cualquier abierto $V$ voy a escribir $\partial_L V$ (resp. $\partial_R V$) para el conjunto de límite de puntos de $V$, que están a la izquierda (resp. derecho) puntos extremos de los intervalos en $V$. Fija de $\epsilon > 0$
$$
\begin{align}
Y A_0=(0,1),\\
&A_{n+1}=A_n\cup\bigcup_{x\in\partial_L A_n}(x-\epsilon^{n+1}U)\cup\bigcup_{x\in\partial_R A_n}(x+\epsilon^{n+1}U),\\
&Un=\bigcup_{n=0}^\infty A_n.
\end{align}
$$
Por $\epsilon$ lo suficientemente pequeño, la densidad de Lebesgue no va a existir en cualquier punto de $\parcial$. Doy una prueba de esto, a continuación, siga los argumentos de 1. Es un poco desordenado, aunque...
$X\in\parcial$ es dentro de una distancia $\epsilon^{n+1}+\epsilon^{n+2}+\cdots=\epsilon^{n+1}/(1-\epsilon)\le 2\epsilon^{n+1}$ de un punto de $y$ de $\partial A_{n}$ (suponiendo que $\epsilon\le1/2$). De ello se sigue que
$$
\begin{align}
\left\lvert\mu(B_r(x)\cap a)-\mu(B_r(y)\cap a)\right\rvert\le 2\epsilon^{n+1}.&&{\rm(2)}
\end{align}
$$
Siguiente, dejando $L$ ser la longitud mínima de los componentes conectados de $U$, los componentes conectados de $A_{n-1}$ tiene longitud de al menos $\epsilon^{n-1}$ L, por lo que no son estrictamente contenida en los intervalos de dólares(y-\epsilon,y)$ o $(y,y+\epsilon)$ tanto tiempo como
$$
\begin{align}
r\le\epsilon^{n-1}L.&&{\rm(3)}
\end{align}
$$
Dejando $M$ ser la longitud mínima de un componente conectado de $\mathbb{R}\setminus C$, a continuación, la longitud mínima de $M_n$ de componentes conectados de $\mathbb{R}\setminus A_n$ satisface $M_1=\epsilon M$ y $M_{n+1}\ge\min(\epsilon^{n+1}M,M_n-2\epsilon^{n+1})$. Tan largo como
$$
\begin{align}
(M+2)\epsilon\le M&&{\rm(4)}
\end{align}
$$
esto le da $M_{n+1}\ge\epsilon^{n+1}M$. Suponemos que $\epsilon$ es lo suficientemente pequeño como para (4) para celebrar.
Ahora, como $y$ es un punto límite de $A_n$, $z\in\partial_R A_{n-1}$ (resp. $\partial_L A_{n-1}$) tal que $ $ y=z$ o $y\z+\epsilon^n\partial U$ (resp. $y\z\epsilon^n\partial U$). Asumir, wlog, que $z\in\partial_R A_{n-1}$. Entonces, $y$ en el límite de $z+\epsilon^nC$. Si (3) sostiene, a continuación,
$$
B_r(y)\cap(-\infty,z)=B_r(y)\cap(-\infty,z)\cap A_{n-1}=B_r(y)\cap(-\infty,z)\cap A_{n}.
$$
A continuación, y si
$$
\begin{align}
r+\epsilon^n\le\epsilon^{n-1}M&&{\rm(5)}
\end{align}
$$
(por lo que $r+\epsilon^n\le M_n$) $(y,y+r+\epsilon^n)$ no estrictamente contener cualquier intervalo de $\mathbb{R}\setminus A_{n-1}$. Esto significa que $B_r(y)$ no se cruzan $z^\prime\epsilon^n U$ para $z^\prime > z$ en $A_{n-1}$. Por lo tanto,
$$
B_r(y)\cap[z,\infty)\cap A_n=B_r(y)\cap(z+\epsilon^nU).
$$
Por lo tanto, si (3) y (5) están satisfechos, hemos
$$
\begin{align}
Y B_r(y)\cap A_n= B_r(y)\cap(z+\epsilon^n C),\\
&\frac{\mu(B_r(y)\cap A_n)}{\mu(B_r(y)}=\frac{\mu(B_{\epsilon^{-n}r}(y^\prime\cap C)}{\mu(B_{\epsilon^{-n}r}(y^\prime}&&{\rm(6)}
\end{align}
$$
donde $y^\prime=\epsilon^{-n}y-z$. Dejando $r^*$ ser el máximo de $r_1(x)$ y $r_2(x)$ sobre $\partial C$ podemos enchufe en $r=\epsilon^n r_1(y^\prime$ y $r=\epsilon^n r_2(y^\prime$, respectivamente, y (2),(5) serán satisfechos siempre y cuando $\epsilon$ es lo suficientemente pequeño que
$$
\begin{align}
&\epsilon r^*\le L\\
&\epsilon(r^*+1)\le M.
\end{align}
$$
También, en este caso, $(A_{m+1}\setminus A_m)\cap B_r(y)$ contiene en la mayoría de los $N^{m-n+1}$ copias de $U$ a escala por $\epsilon^{m+1}$ (donde $N$ es el tamaño de $\partial C$). Así, por pequeño $\epsilon$,
$$
\mu(B_r(y)\cap a)-\mu(B_r(y)\cap A_n)\le\sum_{m=n}^\infty N^{m-n+1}\epsilon^{m+1}=N\epsilon^{n+1}/(1-\epsilon)\le 2N\epsilon^{n+1}.
$$
a la mayoría de los $2\epsilon^{n+1}$ y esto difiere de $\mu(B_r(y)\cap A_{n})$ en $(3\epsilon)^{n+1}$. Así,
$$
\left\lvert\frac{\mu(B_r(x)\cap a)}{\mu(B_r(x))}-\frac{\mu(B_r(y)\cap A_{n})}{\mu(B_r(y))}\right\rvert\le r^{-1}(4\epsilon)^{n+1}.
$$
La combinación de este con (2) y (6) da
$$
\left\lvert\frac{\mu(B_{s_1}(x)\cap a)}{\mu(B_{s_1}(x)}-\frac{\mu(B_{s_2}(x)\cap a)}{\mu(B_{s_2}(x)}\right\rvert\ge\delta\frac{2\epsilon}{\tilde r}-\frac{2N\epsilon}{\tilde r}
$$
donde $s_1,s_2\le \epsilon^n r^*$ y $\tilde r$ es el valor mínimo de $r_1(x)$ y $r_2(x)$ sobre $\partial C$. La elección de $\epsilon$ lo suficientemente pequeño para que el lado derecho es estrictamente positivo, el lado izquierdo no se desvanecen a medida que $s_1,s_2\to0$, y la densidad de Lebesgue no existe en cualquier punto de $\parcial$.
