Valor mínimo de $x+4z$ sujeto a la restricción $x^2+y^2+z^2\leq 2$?

Question

Considere el siguiente problema:

Deje $f:{\mathbb R}^3 \to{\mathbb R}$ ser $$f(x,y,z)=x+4z$$ where $$x^2+y^2+z^2\leq 2.$$ Find the minimum of $f$.

Esto es similar a la pregunta aquí. Sin embargo, dado que esto no es una analítica de la función con la variable compleja, uno puede no ser capaz de utilizar el "Máximo módulo de principio".

Lo que creo es que uno puede reescribir la restricción de desigualdad de $x^2+y^2+z^2\leq 2$ $$x^2+y^2+z^2=2-\delta\qquad \delta\in[0,2]$$ a continuación, puede utilizar el "Multiplicador de Lagrange Método" con el parámetro $\delta$. O uno puede hacer en el plano xOz con el sentido geométrico de $C$$C=x+4z$.

Hay otra manera mejor que la idea anterior para resolver este problema?

Answer 1

La función de $x+4z$ aumenta más rápidamente (medido por el incremento por unidad de longitud) en la dirección del vector $(1,0,4)$ - los coeficientes de la monomials. La desigualdad de $x^2+y^2+z^2 \leq 2$ es una sólida bola con el radio de $\sqrt{2}$. De modo que el valor mínimo de la función lineal está en la frontera de la bola en la dirección $(1,0,4)$ desde el centro que tiene que ser un múltiplo de que pertenece a la superficie, es decir, $$-\sqrt{\frac{2}{17}} (1,0,4)$$ El signo menos se agregó a hacer un mínimo. En el punto opuesto con el signo más es un máximo. El mínimo de la misma es $-\sqrt{34}$.

Answer 2

Esta respuesta es sólo de referencia para comparar las soluciones obtenidas mediante multiplicadores de Lagrange frente a la eliminación. Aviso en la primera que x y z son tratados por igual hasta que se necesitan para resolver { u = 2, x = 4z }, pero en la segunda x era el favorito de todo el tiempo. En la primera, se trata únicamente de polinomios, pero en la segunda hemos dividido por la raíz cuadrada de 2−xx, por lo que se tuvo que tratar con mucho más extrañas fórmulas. En general, el método de eliminación se basan en reglas más simples (de una variable de minimización es "fácil"), mientras que el método de Lagrange se basan en fórmulas más sencillas, pero requieren un poco más complicado ideas (las normales para hyper-superficies y tal). Si usted puede conseguir su cabeza alrededor de por qué los multiplicadores de Lagrange de trabajo, entonces debe ser todo un poco más sencillo de hacer cálculos.

Multiplicador de Lagrange

Minimizar C = x + 4z sujeto a u = xx + yy + zz ≤ 2. Si el mínimo se produce cuando u < 2, entonces la restricción no tenía efecto y se puede ignorar. Así que minimizar C sobre todos los x, y, z por la búsqueda de puntos críticos. ∇C = (1,0,4) nunca es igual a 0, es siempre definida y continua, por lo que C no tiene puntos críticos dentro de la región factible (o fuera de ella!). Por tanto, el mínimo debe ocurrir en el límite, cuando u = 2. Esto es directamente un multiplicador de Lagrange problema: queremos ∇C para ser un múltiplo de ∇u = (2x, 2y, 2z). Así que nos pusimos (1,0,4) = λ(2x, 2y, 2z), y leer que y = 0 y z = 4x. Uno debe tener u = 2, por lo que el 17 dexx = 2, y la solución es (x, y, z) = ±(√(2/17), 0, 4√(2/17)) ≈ (0.34, 0, 1.37) con un mínimo de C = -17√(2/17) ≈ -5.83 y la máxima C = +17√(2/17) ≈ +5.83.

Eliminación de variables

Minimizar C = x + 4z sujeto a u = xx + yy + zz ≤ 2. De nuevo, el interior no es relevante, y tampoco lo es y, por lo que podemos trabajar el menor problema: Minimizar C = x + 4z sujeto a xx + zz = 2, es decir, minimizar C(x) = x ± 4√(2−xx). Tomar derivados para obtener C'(x) = 1 ± 4x/√(2−xx), que es 0, precisamente cuando 4x = ±√(2−xx), es decir, cuando 16xx = 2 − xx, es decir, cuando x = ±√(2/17) ≈ 0.34 con un mínimo de C = -17√(2/17) ≈ -5.83 y la máxima C = +17√(2/17) ≈ +5.83.

Answer 3

La restricción $x^2 + y^2 + z^2 \le 2$ es equivalente a la restricción $$(x + 4z)^2 + (4x - z)^2 + 17y^2 \le 34$$

y esto da $x + 4z \ge - \sqrt{34}$ con la igualdad cuando la $y = 4x - z = 0$.

La lección a sacar de este argumento es que las pelotas son especialmente fáciles de manejar, ya que se puede girar.

Answer 4

He aquí una idea: Considere la posibilidad de que el avión $x+4z=c$, para diferentes valores de c. El cambio de c por desplazamiento del avión, y claramente, $c$ es la variable que se desea minimizar. Por lo tanto, buscamos el mínimo de $c$ de manera tal que el plano intersecta a la esfera con radio 2. Por lo tanto, la minimización de plano debe ser un plano tangente a la esfera, de lo contrario, se disminuye c un poco y se intersecan la esfera.

La normal del plano es el vector de la $(1,0,4),$ y por lo tanto, el rayo $t(1,0,4)$ debe golpear el punto de tangencia. Por lo tanto, el mínimo/máximo valor se da cuando la $x=t,z=4t$$t^2 + (4t)^2 = 2$. La segunda ecuación nos da $t = \pm \sqrt{2/17}.$ por lo tanto $c = -\sqrt{2/17}-4(4\sqrt{2/17}) = -17\sqrt{2/17} = -\sqrt{34},$ que es el mínimo.

Answer 5

Usted debe hacer el derivado del estándar de prueba y ver si los resultados están dentro de su región. A continuación, usted debe realizar un Multiplicador de Lagrange Método en el límite, es decir, en $x^2 + y^2 + z^2 = 2$. Porque es un lugar compacto, que tendrán un máximo y un mínimo, y será en el interior o en la frontera.

Rápidamente se observa que no hay necesidad de realizar la llamada segunda derivada de la prueba (que es molesto, en las dimensiones superiores), sino que basta con comparar los máximos y mínimos encontrados.

O podría ser ingenioso y darse cuenta de que la pendiente es constante, así que la sigue hasta que llega a la frontera.