Inyectiva, surjective y bijective lineales, mapas

Question

Tengo problemas mostrando que $\phi$ es surjective. Mi entendimiento es, que tengo que mostrar para cada $u \in \mathbb{R}^3$ que existe una $v \in \mathbb{R}^3$ pero no estoy seguro de cómo.

Deje $a,b,c \in \mathbb{R}$. Vamos a examinar la $\mathbb{R}$-lineal mapa de $\phi:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3$ se define a través de: $\phi(e_1)=\begin{bmatrix}b \\ -c \\ 1\end{bmatrix}, \phi(e_2)=\begin{bmatrix}a \\ 1 \\ 0\end{bmatrix}, \phi(e_3)=\begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}$ $e_1, e_2, e_3$ como estándar de $\mathbb{R}^3$.

1. Es $\phi$ inyectiva, surjective, bijective?

2. Si $\phi$ es bijective, hallar la función inversa $\phi^{-1}$.

Mi primer paso fue determinar el lineal propio mapa por:

$\phi(x,y,z) = x\phi(e_1) + y\phi(e_2) + z\phi(e_3) = x\begin{pmatrix}b \\ -c \\1\end{pmatrix} + y\begin{pmatrix}a \\ 1 \\0\end{pmatrix} + z\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\0\end{pmatrix}$

Ahora quiero mostrar, que $\phi$ es inyectiva:

Desde $\ker \phi$ debe $\{0\}$ que dispone de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: $\begin{align} bx+ay+z = 0 \\ -cx + y = 0\\x = 0\end{align}$

Por lo que se deduce $x = y = z = 0$. Por lo tanto, $\phi$ debe ser inyectiva.

Ahora si quiero mostrar que la $\phi$ es surjective puedo decir, si $u \in \mathbb{R}^3$, entonces es evidente que hay un $v = \phi(u_1, u_2, u_3) \in \mathbb{R}^3$?

Answer 1

Hay un número de maneras de hacer esto.

• Uno es el acercamiento de fuerza bruta. Dado cualquier $(v_1,v_2,v_3)\in\mathbb{R^3}$, usted necesita demostrar que usted puede encontrar $x$, $y$, y $z$ tal que $$\begin{array}{rcccccl} bx & + & ay & + & z & = & v_1\\ -cx & + & y & & & = & v_2\\ x & & & & &=&v_3 \end{array}$$ no importa lo que $v_1$, $v_2$, y $v_3$. Esto no es demasiado difícil de hacer. Esto muestra claramente que la función es surjective.

• Otro método es delicadeza que el uso de la teoría. Si usted ya conoce el Rango de-nulidad Teorema, entonces usted sabe que la dimensión de la imagen y la dimensión del núcleo debe ser igual a la dimensión del dominio: $$\dim(V) = \dim(\mathrm{ker}\phi) + \dim(\mathrm{Im}\phi).$$ Aquí, la dimensión del dominio de es $3$, y la dimensión del núcleo es $0$, por lo que la dimensión de la imagen debe ser $3$. Desde el codominio es $\mathbb{R}^3$, de dimensión $3$, a continuación, la imagen debe ser igual a todo el codominio; es decir, la función debe ser surjective.

  De hecho, como consecuencia de la Clasificación de Nulidad Teorema llegamos a la conclusión de que si $V$ si finito dimensional, entonces, para una transformación lineal $T\colon V\to V$, las tres condiciones (inyectividad, surjectivity, y bijectivity) son de hecho equivalentes. Uno implica a los otros dos.

• Otras partes de la teoría que puede venir en práctico son los resultados que usted puede saber acerca de los sistemas de ecuaciones lineales. Por ejemplo, usted probablemente sabe que un sistema homogéneo con más incógnitas que ecuaciones siempre tiene soluciones no triviales. Usted también puede saber que un sistema de la forma $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ donde $A$ $n\times n$ matriz, tiene una solución para todas las $\mathbf{b}$ si y sólo si la única solución a $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ es la solución trivial. De nuevo, esto equivale a la utilización de la teoría de finura de la solución.

Si o no su grado aceptaría "es obvio" que depende del nivel del curso. Mi conjetura es que no sería suficiente para todos los puntos, dado el nivel del problema.

Answer 2

También hay un resultado: Considerar la transformación lineal $T:U\to V$ donde $\dim(U)= \dim(V)$. A continuación, $T$ invertible (he.e inyectiva y surjective) iff $\ker T = \{0\}$.