Los objetos se barajan. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente un objeto permanece en su posición original?

Question

Tenemos una terraza con $n$ tarjetas enumeradas $1,2,\ldots,n$. Las cartas se barajan. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente una tarjeta de permanecer en su posición original? ¿Cuál es el límite de $n$ se eleva hasta el infinito?

$$ \begin{array}{rcl} \{1\} & : & \dfrac 11 \\[6pt] \{12,21\} & : & \dfrac 02 \\[6pt] \{123,132,213,231,312,321\} & : & \dfrac 36 \\[6pt] & \vdots \end{array} $$

En $n = 100 0$ $10 000$ ensayos:

$$ \begin{array}{rcl} \text{value of }n & & \text{probability} \\ \hline 1000 & & 0.3739 \\ 1001 & & 0.3689 \\ 1002 & & 0.3722 \\ 1003 & & 0.3638 \\ 1004 & & 0.3707 \\ 1005 & & 0.3664 \\ 1006 & & 0.3616 \\ 1007 & & 0.3728 \\ 1008 & & 0.3702 \\ 1009 & & 0.3801 \end{array} $$

En $n = 100 000$ $10 000$ ensayos:

$\text{value of } n \quad \text{probability}$

$\quad 100000 \quad \quad 0.3659$

$\quad 100001 \quad \quad 0.3552$

$\quad 100002 \quad \quad 0.356$

$\quad 100003 \quad \quad 0.367$

$\quad 100004 \quad \quad 0.3738$

$\quad 100005 \quad \quad 0.3647$

$\quad 100006 \quad \quad 0.3654$

$\quad 100007 \quad \quad 0.3637$

$\quad 100008 \quad \quad 0.3718$

$\quad 100009 \quad \quad 0.3708$

Al parecer, la probabilidad de enfoques $0.36-0.38$, pero ¿cómo se puede derivar que analíticamente?

Answer 1

Para encontrar el número de "buena" permutaciones arreglar una tarjeta y trastornar el resto $(n-1)$ tarjetas. Esto se puede hacer en $!n$ maneras. ($!n$ es el número de alteraciones de $n$ objetos). A continuación, el número de "buena" permutaciones es $n\cdot !(n-1)$. Por lo tanto tenemos:

$$\lim_{n \to \infty} p_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n\cdot !(n-1)}{n!} = \lim_{n \to \infty} \frac{!(n-1)}{(n-1)!} = e^{-1}$$

El límite último puede ser visto en el enlace que he añadido por encima.

Answer 2

Por la inclusión-exclusión en el principio, en el grupo simétrico $S_n$ hay $$ n!\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{k!} $$ permutaciones sin puntos fijos (ver alteraciones). De ello se desprende que en el mismo grupo hay $$ n\cdot (n-1)!\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(-1)^k}{k!} $$ elementos con exactamente un punto fijo, y el límite de la probabilidad es $\color{red}{\large\frac{1}{e}}$ en ambos casos.