Hay en la mayoría de los dos primeros números de dividir $|G|$

Question

Sólo necesitamos sugerencias

Deje de $G$ es finito, no abelian grupo de tal manera que toda su correcto subgrupos son abelian. A continuación, hay dos diferentes números primos dividiendo $|G|$.

He encontrado algunas ideas sobre este grupo de aquí, http://mathoverflow.net/questions/25307/groups-with-all-subgroups-normalpero honestamente no sé mucho acerca de Dedekind grupos. Gracias.

Answer 1

Parte difícil: Demostrar que $G$ no puede ser simple. Una manera de hacerlo es aplicar un determinado hecho acerca de máxima subgrupos, que es bueno saber. Si en un finito no abelian grupo de las intersecciones de las distintas máxima subgrupos son triviales, entonces el grupo no puede ser simple. Por lo tanto es suficiente para demostrar que si $G$ es simple, entonces las intersecciones de las distintas máxima subgrupos de $G$ son triviales.

Después de eso, muestran que $G$ deben ser resueltos.

Si $G$ es solucionable, tiene un subgrupo normal de $N$ del primer índice, por ejemplo, de $[G:N] = p$. Desde $N$ es abelian, tiene todos los subgrupos de Sylow normal. Mus $G$ tiene todos los subgrupos de Sylow normal, con la posible excepción de $p$-subgrupos de Sylow.

Si $G$ tiene más de dos factores primos, se puede demostrar que el $p$-subgrupo de Sylow es normal. Pero esto no es posible, porque entonces $G$ sería abelian.

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Estoy dejando un montón de detalles, pero creo que este enfoque debería funcionar. Este teorema es similar a una diferente:

Si $G$ es finito, no nilpotent grupo con todas adecuada subgrupos nilpotent, entonces $|G| = p^q^b$ para distintos números primos $p$ y $q$.

Una prueba se puede encontrar en Derek Robinson grupo de el libro de la teoría, y estoy básicamente utilizando la misma idea.

Answer 2

@Babak, usted también debe estudiar un clásico de papel (1903) de Miller y Moreno. George Miller fue un prolífico grupo teórico, sin embargo, él no disponer de nuestra notación moderna. Así que no se asuste por el estilo.