Cómo demostrar que $\frac{1000!}{(500!)^2}$ no es divisible por 7?

Question

Cómo demostrar que $$\frac{1000!}{(500!)^2}$$ no es divisible por 7?

He reducido la fracción anterior a: $$\frac{\prod_{k=501}^{1000}k}{500!} $$

Pero no sé cómo proceder. Por favor, ayuda.

Answer 1

Esto es exagerado, pero por Teorema de Lucas $$\frac{1000!}{(500!)^2}=\binom{1000}{500} \equiv \binom{2}{1}\binom{6}{3}\binom{2}{1}\binom{6}{3} \equiv 4 \pmod{7}$$ Como $1000=2626_{7}$ y $500=1313_{7}$ .

Aquí hay otro argumento, más elemental, de La fórmula de Legendre , $$\nu_7(n!) = \frac{n - s_7(n)}{6}$$ Así que $\nu_7(100!)=164, \nu_7 (50!)=82$ . Así que el $7$ s en el denominador y el numerador se cancelan. Así tenemos el resultado deseado.

Answer 2

Es una fórmula general que el número de veces que un primo $p$ se produce en la factorización primaria de $n!$ viene dada por

$$ \left[\frac{n}{p}\right] + \left[\frac{n}{p^2}\right] + \left[\frac{n}{p^3}\right] + \cdots $$

donde $[x]$ denota el mayor número entero $≤x$ .

En $1000!$ tendrías

$$ \left[\frac{1000}{7}\right] + \left[\frac{1000}{7^2}\right] + \left[\frac{1000}{7^3}\right] + \cdots = 164 $$

$7$ y en $500!$ tienes

$$ \left[\frac{500}{7}\right] + \left[\frac{500}{7^2}\right] + \left[\frac{500}{7^3}\right] + \cdots = 82 $$

$7$ 's. Así que tendrás un total de $164$ 7 en $(500!)^2$ .

El resto sigue.

Answer 3

También se puede sobrepasar por el teorema de Kummer:

Observe que $500$ es $1313$ en la base $7$ . Como cada dígito es menor que $\frac{7}{2}$ no hay cargas cuando se agrega $1313+1313$ en la base $7$ .

Por lo tanto, $\binom{1000}{500}$ no es un múltiplo de $7$ .

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En general tenemos que un primo $p$ divide $\binom{2n}{n}$ si y sólo si $n$ tiene al menos un dígito mayor o igual que $p/2$ en su base $p$ expansión.

Answer 4

Considera las factorizaciones primarias:

$$\lfloor\frac{1000}{7}\rfloor+\lfloor\frac{1000}{7^2}\rfloor+\lfloor\frac{1000}{7^3}\rfloor+...=142+20+2=164$$ Entonces $$7^{164}|1000!$$

De la misma manera:

$$\lfloor\frac{500}{7}\rfloor+\lfloor\frac{500}{7^2}\rfloor+\lfloor\frac{500}{7^3}\rfloor+...=71+10+1=82$$ Entonces $$7^{164}=7^{82\cdot2}=(7^{82})^2|(500!)^2$$

Answer 5

En $\{1,\dots, 500\}$ hay 71 múltiplos de 7, 10 múltiplos de $7^2$ y un múltiplo de $7^3$ .
¿Cuántos múltiplos de $7$ , $7^2$ , $7^3$ ¿tiene usted en $\{501,\dots, 1000\}$ ? La misma cantidad.