Si cada elemento de R tiene un (multiplicativo) inverso, a continuación, $R = \{0\}$

Question

Estoy tratando de entender por qué es este el caso. Tengo que probar esto, pero no entiendo cómo es cierto. Por ejemplo, si cada elemento no nulo de a $R$ tiene un inverso multiplicativo, entonces, es un campo. Entonces, ¿cómo es $R=\{0\}$?

Gracias por su tiempo :)

Answer 1

Tenemos $0 \cdot x = 1$ algunos $x \in R$, lo $1 = 0$, y de ello se sigue que para $x\in R$, $x = x\cdot 1 = x \cdot 0 = 0$.

Answer 2

Primero de todos, si cada elemento distinto de cero de a $R$ tiene un inverso multiplicativo que hace de él un anillo de división y no en el campo, un buen ejemplo es el de los cuaterniones, sólo se convierte en un campo, si la multiplicación es conmutativa. En segundo lugar, a partir de los axiomas de anillo de la teoría de la $0$ no tiene un inverso multiplicativo, excepto para el anillo {$0$}