Prueba o refuta mi conjetura sobre los triángulos.

Question

Demostrar o refutar: Para un conjunto de al menos 3 puntos no colineales, siempre podemos construir un triángulo que contenga los puntos, con la condición añadida de que cada una de las aristas del triángulo tenga un punto en su centro.

Ejemplo: Véase la figura siguiente. Hay 7 puntos dispersos al azar, y el triángulo negro los contiene a todos. (Obsérvese que considero que el punto rojo de la parte inferior izquierda está contenido a pesar de estar atravesado por el borde del triángulo). Además, cada uno de los lados del triángulo tiene un punto del conjunto en su centro. He coloreado estos puntos centrales de color naranja para facilitar su visualización, pero no tienen nada de especial: Podría haber seleccionado otros tres puntos centrales al construir un triángulo para contener este conjunto.

Answer 1

Su conjetura es cierta, y por una razón sorprendentemente (para mí) elemental. Le sugiero encarecidamente que dibuje usted mismo mi solución: no es profunda.

Un conjunto finito de puntos $S$ determinará un número finito de triángulos; toma el mayor de ellos en área, $T$ . Afirmo que todos los puntos caerán dentro del triángulo $M(T)$ que tiene $T$ como su triángulo medial (lo que satisfará claramente nuestros requisitos de que cada lado del triángulo tenga un punto medio perteneciente a $S$ ). Supongamos ahora que algún punto $s\in S$ cayó fuera $M(T)$ ; dejar que $L$ sea el lado de $M(T)$ que $s$ se encuentra arriba. (Con esto quiero decir que si extendemos los lados de $M(T)$ hasta el infinito, habrá tres secciones del plano, determinadas por estas líneas, que tocan los lados del triángulo; si $s$ está en la sección que toca $L$ podemos visualizarlo como "acostado sobre $L$ .")

Ahora, toma el lado $K$ en el triángulo original $T$ que es paralelo a $L$ en $M(T)$ . Porque $s$ se encuentra por encima de $L$ se encuentra por encima del vértice $v$ en $T$ que cae a lo largo de $L$ , lo que significa que - desde $K$ y $L$ son paralelos - que la altitud de $s$ de $K$ es mayor que el de $v$ de $K$ . Pero entonces el triángulo que tiene $s$ como vértice en lugar de $v$ tendría una superficie estrictamente mayor (toma $K$ como la base del triángulo para ver esto). Esto contradiría nuestra hipótesis de que $T$ era el triángulo más grande que podíamos hacer a partir de puntos en $S$ ¡!