Cómo resolver esta integral definida con logaritmo implicado: $\int_0^1\left( \ln (4-3^x)+2 \ln(1+3^x)\right)dx$

Question

$$\int_0^1\left( \ln (4-3^x)+2 \ln(1+3^x)\right)dx.$$

La respuesta dada $\log 16$ . ¿Puede alguien explicarme esta cuestión? Muchas gracias.

Answer 1

Esta integral implica el uso de polilogaritmos. Recordemos que $$\int-\frac{\ln(1-x)}{x}dx=\mathrm{Li}_2(x)+C$$ En su caso, tendremos que aplicar la definición anterior. Tenemos: $$\int_{0}^{1} \ln (4-3^x)+2 \ln(1+3^x)dx=\\\int_{0}^{1} \ln (4-3^x)+ \int_0^12 \ln(1+3^x)dx$$ Ahora echemos un vistazo a la primera: $$\\ \int_{0}^{1} \ln \left(4\left(1-\frac{3^x}{4}\right)\right)dx=\\ \int_{0}^{1} \ln (4)+\ln \left(1-\frac{3^x}{4}\right)dx=\\$$$$ \bbox[5px,border:2px solid red] {u=\frac{3^x}{4}cuadra \quad du=\ln(3)u\ dx} $$$$\\ \int_{\frac14}^{\frac{3}{4}} \ln (4)+\frac{\ln(1-u)}{\ln(3)u}du=\\ \left[x\ln(4)-\frac{\mathrm{Li}_2(\frac{3^x}{4})}{\ln(3)}\right]_0^1$$ Ahora el segundo: $$\int_0^12 \ln(1+3^x)dx=\\$$$$ \bbox[5px,border:2px solid red] {z=-3^x\quad \quad dz=\ln(3)z} $$$$\\ 2\int_1^{-3}\frac{\ln(1-z)}{\ln(3)z}dz=\\\left[\frac{-2\mathrm{Li}_2(-3^x)}{\ln(3)}\right]_0^1$$ Por lo tanto, finalmente tenemos: $$\left[\frac{x\ln(4)\ln(3)-\mathrm{Li}_2(\frac{3^x}{4})-\mathrm{Li}_2(-3^x)}{\ln(3)}\right]_0^1=\frac{\ln(3)\ln(4)-\mathrm{Li}_2(-3)-\mathrm{Li}_2(\frac{3}{4})-\frac{\pi^2}{6}+\mathrm{Li}_2(\frac{1}{4})}{\ln(3)} \approx$$$$ \[5px,border:2px solid black] {2.773}$$