Hay un ejemplo significativo de la probabilidad de $1/\pi$?

Question

Una gran parte de la combinatoria de los casos tienen probabilidades de $1/e$.

El secretario problema es uno de esos ejemplos. Excluyendo los casos triviales (una variable tiene una distribución uniforme sobre $(0;\pi)$ - ¿cuál es la probabilidad de que el valor por debajo de $1$?). No recuerdo ningún ejemplo en $1/\pi$ sería una solución a un problema de probabilidad.

Hay "significativa" la teoría de la probabilidad caso con una probabilidad de acercarse a $1/\pi$?

Answer 1

Sí la hay!

He aquí un ejemplo, llama la Buffon de la aguja.

El lanzamiento de un partido de longitud $1$ en un piso con líneas paralelas espaciadas entre sí por $2$ unidades, entonces la probabilidad de que un partido cruza una línea es

$$\frac 1\pi.$$

Usted puede tener todos los detalles de la prueba aquí , si quieres.

$\qquad\qquad\qquad\qquad\quad $

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Más generalmente, si su partido (o la aguja, es todo lo mismo) tienen una longitud de $a$, y las líneas están separadas entre sí por $\ell$ unidades, entonces la probabilidad de que un partido cruza una línea es

$$\frac {2a}{\pi \ell}.$$

Answer 2

Esto no se aborda la cuestión de pedido, pero yo creo que es un interesante ejemplo en el espíritu de lo que me pediste:

Pick $N$ a ser un número entero. Ahora, para calcular $p_N$ a la probabilidad de que dos números aleatorios $1 \leq m,n \leq N$ son relativamente primos.

A continuación, $$\lim_{N \to \infty} p_N =\frac{6}{\pi^2}$$

Answer 3

Hay muy pocas probabilidades geométricas relacionadas con problemas que involucren $\pi$. La más simple que se puede pensar, imaginar siendo este un tablero de dardos.

La probabilidad de llegar a la plaza, suponiendo que el disparo no se pierda la tarjeta, es $\frac{2}{\pi}$.

Si el radio del círculo es $r$, entonces uno de los lados del cuadrado es $r\sqrt{2}$ $p=\frac{S_{square}}{S_{circle}}=\frac{2 r^2}{\pi r^2}=\frac{2}{\pi}$