¿Cómo podemos demostrar que la cardinalidad de los conjuntos infinitos?

Question

Me perdí una conferencia para mi clase de teoría de conjuntos, así que estoy atascado en los siguientes problemas de la tarea:

Demostrar que cada uno de los siguientes conjuntos tiene la potencia del continuo:

una. El conjunto de todas las secuencias infinitas de números enteros positivos; b. El conjunto de todas las ordenadas de n-tuplas de números reales; c. el conjunto de todas las secuencias infinitas de números reales;

De google, que yo era capaz de encontrar la definición de la potencia del continuo, pero en cuanto a las pruebas de equivalencia estoy perplejo. Cualquier visión se agradece!

Answer 1

Hay tres "habitual" de los métodos de abordaje de dicho problema:

1. Encontrar explícita bijections, o utilizar el Cantor-Schröder-Bernstein teorema por la búsqueda de dos inyecciones.
2. El uso de la cardinalidad de las desigualdades, que emplea el Cantor-Schroeder-teorema de Bernstein en el fondo, por ejemplo, $|\mathbb R|\le |\{0,1\}^\mathbb N|\le |\mathbb Z^\mathbb N| = |\mathbb N^\mathbb N| = |\mathbb R|$ (por supuesto que usted necesita para justificar estas por las anteriores igualdades o inyecciones/bijections - pero esto es por lo general algo más sencillo que escribir las funciones de uno en uno).
3. El cardenal aritmética, por ejemplo,$|\mathbb R^\mathbb N| = |(2^\mathbb N)^\mathbb N| = |2^{\mathbb N\times\mathbb N}|=|2^\mathbb N| = |\mathbb R|$.

Como para el $n$-tuplas, esto puede ser demostrado fácilmente por inducción y el cardenal aritmética:

Para $n=1$ clara $\mathbb R$ es de cardinalidad del continuo.

Supongamos por $n$ es verdadero, entonces,$\mathbb R^{n+1} = \mathbb R^n\times\mathbb R$, y la cardinalidad es $|\mathbb R^n|\cdot |\mathbb R|=2^{\aleph_0}\times 2^{\aleph_0} = 2^{\aleph_0+\aleph_0}=2^{\aleph_0}$ según sea necesario.

Answer 2

A veces estas cosas tienen una especie de extraño sentir a ellos. Voy a hablar sobre algo muy similar a la pregunta b): el conjunto de todos ordenado de n-tuplas de números reales en [0,1). Supongamos que nuestro n-tuplas tienen la forma $$ ( 0. \gamma^1 _1 \gamma^1 _2 \gamma^1 _3 \gamma^1 _4 ..., 0. \gamma^2 _1 \gamma^2 _2 \gamma^2 _3 ..., 0. \gamma^3 _1 \gamma^3 _2 ..., ..., 0.\gamma^n _1 \gamma^n _2...)$$

A continuación, podemos asociar un distinto número real a cada ordenó n-tupla por simplemente ir a través de la 1 de dígitos de los números, luego el segundo, luego el tercero, y así sucesivamente. es decir, asociamos el número de $$0. \gamma^1_1 \gamma^2_1 ... \gamma^n_1 \gamma^1_2 \gamma^2_2 ... \gamma^n_2 \gamma^1_3 ...$$ y así sucesivamente. Si necesitamos números que se escriben en la terminación de decimales sólo, entonces esto satisface la relación requerida.

Además, sabemos que hay un bijection entre todos los números reales y los reales en $[0,1]$, por lo que este es un poco más cerca de responder directamente a su pregunta de la tarea que me habría gustado admitir. Pero este es un ejemplo del tipo de sabor de estas preguntas.