¿Cuál es el número total de combinaciones de 5 elementos juntos cuando no hay duplicados?

Question

Tengo 5 categorías: a, B, C, D Y E.

Quiero básicamente crear grupos que reflejan cada combinación de estas categorías, sin que haya duplicados.

Por lo que los grupos tendría este aspecto:

• Un
• B
• C
• D
• E
• A, B
• A, C
• A, D
• A, E
• B, C
• B, D
• B, E
• C, D . . . etc.

Esto suena como algo que me gustaría utilizar el coeficiente binomial $n \choose r$, pero estoy bastante confusa en el cálculo y no puede recordar exactamente cómo hacerlo.

Cualquier ayuda se agradece.

Gracias.

Answer 1

Deje $$nCr=\binom{n}{r}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$ Recuerde que el $\frac{n!}{(n-k)!}$ da todas las permutaciones y las $k!$ en el denominador es lo que ignora duplicados.

Ahora, quieres todas las maneras que usted puede elegir $$(1 \text{ category from } 5) + (2 \text{ category from } 5) + \dots + (5 \text{ category from } 5)$$ es decir, $$\binom{5}{1}+\binom{5}{2}+\binom{5}{3}+\binom{5}{4}+\binom{5}{5}=2^5-1=31$$ Tenga en cuenta que esto se deduce del hecho de que $$(1+1)^n=\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\cdots+\binom{n}{n-1}+\binom{n}{n}=2^n$$ Restando $\binom{n}{0}$ desde ambos lados nos da $$\binom{n}{1}+\cdots+\binom{n}{n-1}+\binom{n}{n}=2^n-\binom{n}{0}$$ Pero desde $\binom{n}{0}=1,\forall n\in\mathbb{N}$ tenemos que $$\binom{n}{1}+\cdots+\binom{n}{n-1}+\binom{n}{n}=2^n-1$$ Al $n=5$ así podemos llegar a la respuesta anterior.

Anexo: Para abordar su preocupación de que no parece ser más que $31$ combinaciones, aquí es una lista de todas las posibilidades: $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} & 1 \text{ category} & 2 \text{ categories} & 3 \text{ categories} & 4 \text{ categories} & 5 \text{ categories} & \text{Sum}\\ \hline & A & AB & ABC & ABCD & ABCDE\\ \hline & B & AC & ABD & ABCE \\ \hline & C & AD & ABE & ABDE \\ \hline & D & AE & ACD & ACDE \\ \hline & E & BC & ACE & BCDE \\ \hline & & BD & ADE \\ \hline & & BE & BCD \\ \hline & & CD & BCE \\ \hline & & CE & BDE \\ \hline & & DE & CDE \\ \hline \text{Total} & 5 & 10 & 10 & 5 & 1 & 31 \\ \hline \end{array}$$

Answer 2

Hay $\binom{5}{1}$ combinaciones con 1 elemento, $\binom{5}{2}$ combinaciones con $2$ artículos,...

Así pues, usted desea : $$\binom{5}{1}+\cdots+\binom{5}{5}=\left(\binom{5}{0}+\cdots+\binom{5}{5}\right)-1=2^5-1=31$$

He utilizado ese $$\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}=(1+1)^n=2^n$$

Answer 3

Piensa acerca de esto desde otro ángulo. Quieres un cierto número de estas cinco categorías, sin repetición.

Así cada categoría, ya sea elegido por usted o no elegido por usted. Cada elección que no guarda ninguna relación con las otras opciones.

Por lo tanto, hay $2^5 = 32$ posibilidades. Sin embargo, usted no cuenta la elección de ninguno de los cinco categorías, por lo que nos reste $1$ conseguir $31$ posibilidades.

Answer 4

Utilizar el binario! 1, 2, 4, 8, 16, añade hasta el 31 de
El número de combinaciones de 6 números serían 63
Siete dígitos sería 127, etc.

Answer 5

Agradezco la matemática que se metió a la respuesta, pero si se mira el problema como números binarios, 0-no se utiliza, 1-usa, y cada posición de bit como un elemento, se llega a la misma conclusión...para N bits, ¿cuántos valores puede codificar? Sin contar el valor 0. A__ = 100 (alta posición del orden es 1) B = 010 AB_ = 110 __C = 001 A_C = 101 _BC = 011 ABC = 111