La alternancia y la Convergencia de la Serie

Question

La pregunta es: Aproximar el valor de la serie dentro de un error de en la mayoría de las $10^{-4}$.

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{(n+1)}}{(n+79)(n+73)}$$

De acuerdo a

$$|S_N - S| ≤ a_{N+1}$$

¿cuál es el menor valor de $N$ que se aproxima a $S$ a dentro de un error de en la mayoría de las $10^{-4}$?

He intentado lo siguiente para obtener $N$:

$$a_n = \frac{1}{(n+79)(n+73)}$$

$$\frac{1}{(n+79)(n+73)} < \frac{1}{10000}$$

$N=25$

¿Cómo puedo resolver para $S$?

Answer 1

Como sugiere vonbrand, la serie se puede dividir por el uso parcial de la fracción de descomposición. Reescribir $$\begin{align} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{(n+1)}}{(n+79)(n+73)}&=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{(n+1)}}{6}\left(\frac{1}{n+73}-\frac{1}{n+79}\right). \end{align}$$ Este es un telescópico de la serie y la fracción términos se anulan para $n>6$. Así $$\begin{align} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{(n+1)}}{(n+79)(n+73)}&=\frac{1}{6}\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{(-1)^{(n+1)}}{n+73}-\frac{(-1)^{(n+1)}}{n+79}\right)\\ &=\frac{1}{6}\sum_{n=1}^6 \frac{(-1)^{(n+1)}}{n+73}.\\ \end{align}$$ Desde que la serie sólo se dejaba $6$ términos, su sumatoria valor será fácil ser obtenida mediante la calculadora de bolsillo.

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$$\large\color{blue}{\text{# }\mathbb{Q.E.D.}\text{ #}}$$