Definición de un Par Ordenado

Question

"El par ordenado $(a,b)$ se define como el conjunto $\{\{a\},\{a,b\}\}$." ~ Álgebra de Hungerford (p.6)

Creo que esta es la primera vez que veo esta definición. He leído la página wiki. ¿Se define de esta manera, en lugar de una definición relacionada con funciones como en un producto cartesiano, porque se considera más elemental (o fundamental) al estar directamente relacionada con conjuntos?

También, la definición de una $n$-tupla ordenada, según la página wiki parece vaga (quizás la estoy entendiendo mal). Para una tripleta ordenada da el ejemplo:

$$(1,2,3) = \{\{(1,2)\},\{(1,2),3\}\}$$

pero, ¿cómo sabemos que esto no es el par ordenado $((1,2),3)$? ¿O se considera trivial la diferencia entre $(1,2,3)$ y $((1,2),3)$?

En tercer lugar, y quizás sin relación, ¿qué significa que se defina un número natural

$$2_{\mathbb{N}} = \{\emptyset,\{\emptyset\} \},$$

y ¿se hace esto también para poder definir $\mathbb{N}$ en términos de conjuntos?

Answer 1

Para tu primera pregunta, tienes razón. Un par ordenado definido como "azúcar sintáctica" para la construcción de conjuntos es más fundamental.

Para tu segunda pregunta, cuando pensamos en una $k$-tupla, la propiedad fundamental es que tenemos "proyecciones" desde la $k$-tupla hacia un elemento particular de la tupla. En otras palabras, todo lo que realmente requerimos es que de alguna manera podamos distinguir un elemento de otro, y que haya un orden.

Con la definición dada, $((1,2),3)$ es efectivamente equivalente a $(1,2,3)$. Esto es casi como Lisp donde (1 2 3) es equivalente a (1 . (2 . (3 . ()))). El principio es el mismo; simplemente estamos creando una especie de árbol binario. Como podrás imaginar, $(1,2,3,4)$ sería equivalente a $(((1,2),3),4)$ según la definición dada.

Este es realmente un problema desafortunado con la notación, y no tanto con la definición de las tuplas en sí mismas.

Para tu última pregunta, básicamente podemos dar una construcción formal a los números naturales utilizando piezas más primitivas de matemáticas. Puedes pensar en ello como simplemente una codificación particular para los números naturales --- o incluso una codificación canónica si así lo prefieres. Otra codificación podría ser un número natural definido como una composición de funciones "sucesor", etc. Pero por supuesto, todas son isomorfas.

Answer 2

Queremos definir lo máximo posible con lo mínimo posible.

De esa manera solo definimos qué son los conjuntos, y con eso definimos pares ordenados, y así sucesivamente.

La forma habitual es definir un par ordenado $\langle a, b\rangle = \{\{a\},\{a,b\}\}$. Esto es simplemente porque es fácil de trabajar con ello.

Puedes definir un par ordenado como la imagen de una función del dominio que es el conjunto potencia del conjunto potencia del conjunto vacío, el primer elemento es la imagen de $\emptyset$ y el segundo es la imagen de $\{\emptyset\}$. (Sí, las funciones suelen definirse como colecciones de pares ordenados. Estoy hablando de la existencia de una fórmula con dos variables libres.)

Nuevamente, estas son solo convenciones y trabajamos con lo que nos resulta cómodo y claro.

En cuanto al segundo problema, solo definimos pares, pero hay una identificación natural entre $\langle a, \langle b, c\rangle\rangle$ y $\langle a, b, c\rangle$ y por supuesto $\langle \langle a, b\rangle, c\rangle$. Así que una vez más solo definimos lo mínimo posible y abusamos un poco de nuestra notación porque sabemos que la estructura formal existe y es sólida.

Y por último, como mencioné antes, queremos definir lo máximo posible con lo mínimo posible. En el mundo de la teoría de conjuntos es bueno tener solo conjuntos. Por lo tanto definimos $0=\emptyset$, e inductivamente podemos definir los números naturales en términos de conjuntos, así que $n=\{0,\ldots,n-1\}$.

Answer 3

Puede que te interese leer "Teoría de Conjuntos" de Kuratowski.

Esto es lo que recuerdo de ello:

1. Primero se define pares $\langle a,b\rangle = \{\{a\},\{a,b\}\}$, con esta definición se puede definir $A\times B$ como el conjunto de todos los pares $(a,b)$ con $a\in A$ y $b\in B. Sin embargo, no es una buena forma de proceder, debido a los problemas que se mencionan.
2. Con esta definición se define $\prod_{i\in I} X_i$ como el conjunto de funciones $f\colon I \to X_i$ tal que $f(i)\in X_i$, aquí $\{X_i \mid i\in I\}$ es una colección de conjuntos (en otras palabras, una función $I\to \mathcal P(\cup X_i)$).
3. En particular, $A^2$ es el conjunto de funciones $2\to A$, donde $2 = \{\varnothing, \{\varnothing\}\}$, y $A\times B$ es el conjunto de funciones $f\colon 2 \to A\cup B$ donde $f(\varnothing)\in A$ y $f(\{\varnothing\})\in B.
4. Ahora olvidamos esa primera definición, y procedemos con la última. (¡Aunque usemos la primera definición para enunciar la última!) La ventaja práctica es que ahora de hecho $A\times B\times C$ está realmente bien definido, al igual que cualquier otro producto, sin importar cuán grande sea el conjunto de índices $I$.
5. Todavía no es cierto que $(A\times B)\times C = A\times (B\times C)$, y de hecho ambos siguen siendo diferentes de $A\times B\times C. Sin embargo, hay bijecciones entre estos tres conjuntos que son tan obvias que, para todos los propósitos prácticos, se pueden considerar iguales.

Answer 4

En cuanto a tu primera pregunta, sí, tu intuición de que esta forma de definir las cosas es más parecida a la teoría de conjuntos y fundamental es correcta.

Dado que en un conjunto no se define ningún orden (es decir, el conjunto $\{a,b\}$ es lo mismo que el conjunto $\{ b, a \}$), si quieres expresarlo todo en términos de conjuntos tienes que fijar una convención para hacerlo. Por lo tanto, en cierto sentido, escribir $\{\{a\},\{a,b\}\}$ es un poco como decir: "estamos interesados en el conjunto $\{a, b\}$, pero con $a$ en un rol destacado".

Answer 5

La necesidad de una definición explícita de par ordenado proviene de la simplicidad del concepto de conjunto: no hay un orden definido en los axiomas de conjunto: un objeto es miembro de un conjunto o no lo es.

Pero es un mecanismo conveniente poder tener el primero de una serie (y también el segundo). Y la definición de 'par ordenado' permite eso. Por supuesto, debes demostrar que, sea cual sea tu definición de 'par ordenado', puedes mostrar que

si $(a, b) = (c, d)$ entonces $a = c$ y $b=d$,

lo cual puedes hacer con la definición dada (la notación $\{b,a, d, c\}$ es el mismo conjunto que $\{a, b, c, d\}$, pero $(b, a, d, c)$ es diferente de $(a, b, c, d)$

Para obtener n-tuplas, debería ser evidente que (aunque no equivalente en la notación de conjunto subyacente) se puede decir que $(a, b, c)$ se puede implementar usando pares ordenados como $((a, b), c)$ o $(a, (b, c))$ donde puedes extraer fácilmente el primer elemento, pero también para obtener el segundo elemento del triple, obtienes el primer elemento del $(b, c)$ que es el segundo elemento del par $(a, (b, c))$.