El pensamiento vino desde el siguiente problema:
Deje $V$ ser un espacio Euclidiano. Deje $T$ ser un producto interior en $V$. Deje $f$ ser una transformación lineal $f:V \to V$ tal que $T(x,f(y))=T(f(x),y)$$x,y\in V$. Deje $v_1,\dots,v_n$ ser una base ortonormales, y deje $A=(a_{ij})$ ser la matriz de $f$ con respecto a esta base.
El objetivo aquí es demostrar que el $A$ es simétrica. Me puede demostrar esto con bastante facilidad, diciendo:
Desde $T$ es un producto interior, $T(v_i,v_j)=\delta_{ij}$.
\begin{align*} T(A v_j,v_i)&=T(\sum_{k=1}^n a_{kj} v_k,v_i)\\ &=T(a_{1j} v_1,v_i) + \dots + T(a_{nj} v_n,v_i)\\ &=a_{1j} T(v_1,v_i) + \dots + a_{nj} T(v_n,v_i)\tag{bilinearity}\\ &=a_{ij}\tag{%#%#%}\\ \end{align*}
Por la misma lógica,
\begin{align*} T(A v_j,v_i)&=T(v_j,A v_i)\\ &=T(v_j,\sum_{k=1}^n a_{ki} v_k)\\ &=T(v_j,a_{1i} v_1)+\dots+T(v_j,a_{ni} v_n)\\ &=a_{1i} T(v_j,v_1)+\dots+a_{ni} T(v_j,v_n)\\ &= a_{ji}\\ \end{align*}
Por hipótesis, $T(v_i,v_j)=\delta_{ij}$, por lo $T(A v_j,v_i)=T(v_j,A v_i)$.
Yo tenía esta otra idea: que desde $a_{ij}=T(A v_j,v_i)=T(v_j,T v_i)=a_{ji}$ es un producto interior, su matriz es positiva definida.
$T$ en notación matricial es $T(x,f(y))=T(f(x),y)$
\begin{align*} x^T T A y &= (A x)^T T y\\ &=x^T A^T T y\\ TA &= A^T T\\ (TA)^T &= (A^T T)^T\\ A^T T^T &= T^T A\\ TA &= A^T T^T\tag{T is symmetric}\\ &= (TA)^T\tag{transpose of matrix product}\\ \end{align*}
Aquí es donde me quedé atrapado. Sabemos que $x^T T A y=(A x)^T T y$ $T$ son matrices simétricas. Claramente $TA$ es simétrica. Si se puede demostrar que $T^{-1}$ $T^{-1}$ viaje, que iba a mostrar.
