Ramificación en $\mathbb Q(i,\sqrt[4]\pi)/\mathbb Q(i)$

Question

Que $\pi\ne1+i$ sea un elemento principal de $\mathbb Z[i]$. Estoy interesado en la ramificación en el % de ampliación $\mathbb Q(i,\sqrt[4]\pi)/\mathbb Q(i)$, sobre todo en $(1+i)$. He intentado por ejemplo secuencias exacto uso de grupos de la inercia, pero el problema es que tengo apenas como poco conocimiento de ramificación en la extensión $\mathbb Q(i,\sqrt[4]\pi)/\mathbb Q$.

¿Alguien tiene algún consejo sobre cómo proceder para calcular índices de ramificación por ejemplo? ¡Gracias de antemano!

Answer 1

Esto me parece una pregunta un poco frustrante, porque no he sido capaz de responder a un grado de exhaustividad que me satisfaga, pero al menos puedo ayudar. Yo no veo ninguna manera de hacer esto en un par de líneas.

En primer lugar, ya que usted está interesado sólo en la ramificación y la división de la prime $\mathfrak m=(1+i)$ en su extensión $K=k(\pi^{1/4})$ donde $k=\Bbb Q(i)$, la pregunta es puramente local, y podemos sentir libres para localizar y completa, y por lo tanto el trabajo de más de $k'=\Bbb Q_2(i)$.

Segundo, estoy seguro de que usted sabe que, debido a la extensión de $K\supset k$ es de Galois, todos los números primos por encima de $\mathfrak m$ tienen el mismo índice de ramificación y residuos del campo de grado. Así que tenemos $efg=4$, donde como de costumbre, $e$ es el índice de ramificación, $f$ es el residuo de campo grado, y $g$ es el número de números primos de $K$ sobre $\mathfrak m$. Así que aparentemente, existen seis casos: $e=4$ (totalmente ramificada), $f=4$ (inertes), $g=4$ (totalmente split), y la mezcla de las tres $e=f=2$, $e=g=2$, y $f=g=2$. Debido a que la extensión es cíclica, es decir, todos los seis ocurrir.

En tercer lugar, estamos trabajando con un Kummer extensión, y podemos utilizar los hechos y de las técnicas de Kummer teoría.

Podríamos empezar a trabajar ahora mismo en tu problema, pero creo que es útil tener en cuenta dos más simple análogas situaciones. Si tu base es $\Bbb Q$ en su lugar, y preguntar acerca de la división y por encima de ramificación $2$ de la extensión de $\Bbb Q(\sqrt n)$ donde $n$ es impar (en todo esto, la primalidad de su $\pi$ no es significativa), entonces la respuesta depende totalmente de la congruencia de las $n$ modulo $8$: si $n\equiv1$, $2$ divisiones; si $n\equiv3$ o $7$, $2$ ramifies; y si $n\equiv5$, el primer $2$ permanece en el prime, es decir, es inerte. Usted puede ver esto muy fácilmente, pasando a la situación completa, y preguntar acerca de lo que sucede cuando se acuestan $\sqrt m$$\Bbb Z_2$. Kummer extensión, la cuadrática extensiones se dijo a usted por $\Bbb Q_2^*/{\Bbb Q_2^*}^2$. Puesto que usted está interesado sólo en las raíces cuadradas de los impares, números, estamos reducidos a mirar a $\Bbb Z_2^*/{\Bbb Z_2^*}^2$. Como usted probablemente sabe, la estructura multiplicativa de $\Bbb Z_2^*$ es isomorfo al grupo aditivo $C_2\oplus\Bbb Z_2$ donde $C_m$ es el grupo cíclico de orden $m$. Los dos generadores se $-1$$5$. Las plazas aquí son, por tanto, de índice de $4$, y se ve fácilmente que el subgrupo $1+8\Bbb Z_2$ está contenida en las plazas, pero también tiene el índice de $4$, por lo que el ${\Bbb Z_2^*}^2=1+8\Bbb Z_2$ Los cuatro representantes del cociente se $\{\pm1,\pm3\}$, correspondientes a los cuatro casos que he mencionado anteriormente.

Vamos a hacer lo mismo para cuadrática extensiones de $k'=\Bbb Q_2(i)$ generado por la raíz cuadrada de "extraño" de los elementos, que es números de $\pi$ no divisible por $1+i$. Voy a llamar al anillo de enteros de aquí a $\mathfrak o$, igual a $\Bbb Z_2[\varpi]$ donde $\varpi=1+i$ es un primer elemento en el anillo local $\mathfrak o$; voy a llamar el ideal de que la $\varpi$ genera $\mathfrak m$ nuevo. Ahora, ya que el residuo de campo es $\Bbb F_2$, las unidades de $\mathfrak o$ nuevo $1+\mathfrak m$, que ahora tiene una estructura multiplicativa isomorfo al grupo aditivo $C_4\oplus\Bbb Z_2\oplus\Bbb Z_2$. Las plazas por lo tanto son de índice $8$, y de nuevo $1+4\mathfrak m$ está contenida en las plazas, pero tiene el índice de $16$; el rectangulares no en $1+4\mathfrak m$$-1$, por lo que las plazas se $\langle-1,1+4\mathfrak m\rangle$. Así, la división y la ramificación de $\mathfrak m$ $K=k(\sqrt\pi)$ depende totalmente de la congruencia de las $\pi$ modulo de la multiplicación de los subgrupos $\langle-1,1+4\mathfrak m\rangle$$1+\mathfrak m=\mathfrak o^*$. Por ejemplo, si $\pi\equiv1$, es decir, si $\pi\in{\mathfrak o^*}^2$, $(1+i)$ divisiones; si $\pi\equiv5$, $(1+i)$ permanece inerte en la extensión; y en todos los demás casos, $(1+i)$ ramifies.

Finalmente, la pregunta que usted hizo preguntar. Ahora, debido a que estamos trabajando con un Kummer extensión de grado $4$, usted tiene que preocuparse acerca de ${k^*}^4$ como un subgrupo de $k^*$, pero debido a su restricción a la cuarta raíces de impar de Gauss números, usted necesita examinar $\mathfrak o^*=1+\mathfrak m$ y el subroup de su cuarto poderes. Ahora el subgrupo $1+8\mathfrak m\subset1+\mathfrak m$ pasa a ser igual a ${\mathfrak o^*}^4$, el índice se $64$. De nuevo, si $\pi$ tierras en el elemento de identidad del cociente de grupo, es decir, si $\pi\equiv1\pmod{1+8\mathfrak m}$, $(1+i)$ se divide por completo en la extensión. Usted puede tratar de cualquier particular, uno de los otros $63$ clases para ver lo que el comportamiento es, dependiendo de cómo el polinomio $X^4-\pi$ se divide $k'$. Porque hay muchos mixto de los casos, sin embargo, no sé qué sensatas declaraciones generales uno puede hacer. Y yo me siento mal porque no he identificado el (único) de la clase en el cociente grupo que le da la inerte caso, excepto para comprobar que no $\sqrt[4]5\,$: que se da un caso mixto, $e=1$, $f=g=2$, como recuerdo.

Answer 2

continuando con @Lubin la respuesta

$G = \Bbb Q_2(i)^* / \Bbb Q_2(i)^{4*}$ es isomorfo a $(\Bbb Z/4\Bbb Z)^4$, con generadores $(1+i), (i), (3+2i), (1+4i)$.

Tomé $3+2i$$1+4i$, de modo que son congruentes a $1 \pmod {(1+i)^3}$. Además, la norma de $3+2i$ es el más alejado $1$ posible (es sólo $1 \pmod 4$), y la norma de $1+4i$ $1 \pmod {16}$ (que es lo mejor que se puede decir, porque esos elementos son determinados mod $(1+i)^7$).

El camino de $X^4-\pi$ factores $\Bbb Q_2(i)$ nos dice sobre el valor de $g$ (el número de factores es el número de números primos $(1+i)$).
Tenemos $g =4$ si y sólo$\pi$$4th$$\Bbb Q_2(i)$, que es el si $\overline{\pi} = 1$, e $g \ge 2$ si y sólo si es un cuadrado en $\Bbb Q_2(i)$, por lo que tenemos una jerarquía de $G_{g\ge 4} = \{1\} \subset G_{g\ge 2} = \{squares \} \subset G$ que nos dice acerca de la $g$.

La extensión es unramified ($e=1$) si y sólo si $\pi \equiv 1 \pmod {(1+i)^3}$$Norm(\pi) \equiv 1 \pmod {16}$, es decir, si $\overline{\pi} \in G_{e \le 1} = \langle 1+4i \rangle$. Una vez más, hay una jerarquía de grupo nos dice que el valor preciso de $e$, (tal vez uno puede explícito el valor de $e$ según si algunos de los valores tomados por el maridaje perfecto dado por la $4$th poder de residuos de símbolos se $1$ o no ? se debe explicar por qué son los grupos, y podría darnos los índices en la jerarquía).

$G_{e\le 2}$ tiene que contener la $G_{e \le 1}$ $G_{g \ge 2}$ (debido a $efg=4$), y de hecho es generada por ellos. En el $1 \pmod {(1+i)^3}$ parte, contiene los elementos de la norma $1 \pmod 8$, a la que añadimos $(-1)$ $2i$ a partir de la unidad y uniformizer partes.

Dado que los valores de $e$ $g$ determinar el valor de $f$, se termina con una bonita triangular imagen donde los dos jerarquías de interactuar.

Por ejemplo, hay dos inerte casos ($g=e=1$), dado por las clases $(1 \pm 4i)$.
También, para el caso de $\pi = 5$, que no es un cuadrado en $\Bbb Q_2(i)$, e $Norm(5)=25 \equiv 9 \pmod {16}$$g=1$$e=2$, por lo tanto $f=2$

Answer 3

La ramificación en $1 + i$ es un poco sutil. Esta es una pregunta, sobre el campo de $K := \mathbb Q_2(i)$.

El problema es tomar una unidad de $u$ en el anillo de enteros $\mathcal O_K$, y entender, la ramificación en $K(u^{1/4})$.

El paralelo pregunta para $\mathbb Q_2$ es entender ramificación en $\mathbb Q_2(u^{1/2})$, cuando se $u \in \mathbb Z_2^{\times}$. Esto depende de la congruencia de la clase de $u \bmod 4$. La comprensión de que el caso, primero debe ayudar a entender el caso de que usted está interesado en.

PS. Empecé a escribir este hace varias semanas, pero acabo de volver a hacerlo ahora. Veo que el Prof. Lubin ha escrito más extenso de la respuesta a lo largo de las mismas líneas.