Una pequeña aclaración sobre bhargav la respuesta: en geometría algebraica sólo tenemos cuasi-unipotency de los locales monodromy en un parámetro familias (que es lo que bhargav está hablando); o en multi-parámetro de las familias, pero sólo cerca de una normal punto de cruce de las discriminante. Global monodromies son reductivas y locales monodromies cerca de los puntos malos de la discriminante puede ser más general.
Para la concreción de mirar un proyectiva de morfismos $f : X \to B$, donde $X$, $B$ son suaves complejo de variedades proyectivas. Deje $D \subset B$ ser el discriminante divisor de $f$, es decir, el divisor, donde el diferencial de $f$ no es surjective. El mundial monodromy de la suave fibration $f : X - f^{-1}(D) \to B - D$ es siempre reductivo por un teorema de Borel. Que es: el Zariski cierre de la monodromy en el lineal de automorfismos de la cohomology de la fibra es un complejo reductor de grupo. Si tomamos un pequeño analítica balón $U \subset B$ centrada en algún punto de $D$, y si sabemos que $D\cap U$ es normal en los cruces de divisor en $U$, entonces el monodromy de los locales fibration $f : f^{-1}(U-D) \to U-D$ es cuasi-unipotentes como bhargav explicó. Tenga en cuenta que la normal cruces condición implica que el grupo fundamental de la $U - D$ es abelian, por lo que el cuasi-unipotency condición tiene sentido aquí.
Sin embargo, si $U\cap D$ no tiene normal cruces, a continuación, $\pi_{1}(U-D)$ no necesita ser abelian y la monodromy de $f : f^{-1}(U-D) \to U-D$ no necesita ser cuasi-unipotentes. Un ejemplo fácil es mirar un genérico proyectiva avión $\mathbb{P}^{2}$ $9$ dimensiones proyectivas espacio cúbico curvas en $\mathbb{P}^{2}$. Este plano parametrizes una familia de cúbicas que degenera a lo largo de una curva discriminante $D \subset \mathbb{P}^{2}$ y bajo el genericity suposición $D$ tiene sólo los nodos y aristas. El cuspidal puntos de $D$ corresponden a cuspidal cúbicas, y cerca a la cúspide de la $D$ el local de grupo fundamental de la $U - D$ es la amalgama de productos de $\mathbb{Z}/4$$\mathbb{Z}/6$$\mathbb{Z}/2$, por lo que es isomorfo a $SL_{2}(\mathbb{Z})$ el local monodromy representación cerca de la cúspide, es decir, la representación de la $\pi_{1}(U-D,u_{0})$ a los lineales de automorfismos de la primera integral cohomology de las cúbicos correspondientes a $u_{0} \in U - D$, es una inclusión, es decir, tiene la imagen de $SL_{2}(\mathbb{Z})$. En particular, no es cuasi-unipotentes.
