Mi entendimiento es que la clase de todos los ordinales es, por definición, una clase adecuada. Esto al final se hace para evitar una paradoja: la colección de todos los conjuntos sería paradójico si le permiten ser un conjunto, porque entonces usted podría considerar la posibilidad de poder establecer de este conjunto, y así sucesivamente.
Pero esta solución satisfactoria? Es en es equivalente a considerar el número de elementos de esta clase adecuada de un potencial infinito que no puede ser alcanzada? Su cardinalidad no está definido aún. Se me parece mucho a $\omega$ (la clase de todos los N): antes de cantor no era un "número", sólo un potencial infinito. Hoy no sólo tenemos $\omega$ bien definidos, pero también todo el zoológico de transfinito ordinales mayor que ella. Pero, al parecer, hemos llegado a una nueva pared con la clase o de todos los ordinales. Es esta una pared temporal, de la que es la mayor posible infinita que los seres humanos pueden imaginar (al menos hoy en día?)
Actualización:
Estoy de acuerdo en que usted puede tener modelos de $V_\kappa$ que no contienen todos los ordinales. Pero en una respuesta a una pregunta anterior, me dijeron que V es tal vez el más grande del universo posible, y "... la clase de los números ordinales que realmente debe ser visto como un punto de fijación central que no cambia cuando hacemos nuestro favorito construcciones". Si no te gusta V, o que no consideramos que sea lo suficientemente grande, podemos definir un super universo U que consta de todos los conjuntos de todos los modelos de todas las posibles teorías. Todavía tiene en la mayoría de todos los ordinales (sólo por definición, o me equivoco?). La analogía que hace entre $\omega$ y la clase de todos los ordinales, porque: 1) dado un subconjunto de N que siempre se puede encontrar un mayor n, con el verdadero infinito no se puede llegar (bueno, hoy en día podemos, y la denominamos $\omega$). Mismo para los ordinales, puedes definir el universo te gusta, siempre puedes encontrar un mayor ordinal, pero nunca llegar a la clase de todos los ordinales. Y, por definición, no existe la colección de todos los N, y existe el conjunto de todos los ordinales, ORD. Pero usted puede encontrar las cosas mucho más grande que la de N, pero no de ORD? La pregunta es si la razón es que no podía hacer una definición significativa de una colección de más de ORD, sin embargo, o va a ser siempre más allá de nuestro alcance?
Respuestas
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Los conceptos son muy diferentes, a mi mejor entender.
Según lo que pude entender, la pre-Cantorian infinito era principalmente una noción de una longitud que es más que cualquier otro. Ella estaba más cerca del infinito nos encontramos en el análisis real, más que el infinito nos ocupamos en la teoría de conjuntos. A pesar de que el sector informal de la similitud que se puede hablar de "$f(\infty)$" y "$\alpha\in\sf Ord$", como si ambas fueran objetos reales de sus universos.
Cantor dio cuenta de que uno puede considerar una cola de longitud infinita, y que tiene sentido tener una infinita cola, y luego algunos. A partir de allí se definen los ordinales y los cardenales, y el resto es historia.
Por otro lado, desde un moderno punto de vista, la clase de los números ordinales no necesita ser absoluta. Uno puede considerar el final de las extensiones, lo que realmente agregar más números ordinales para el universo, un ejemplo típico es el de tomar una inaccesibles $\kappa$, $\bf V$ es una extensión de $V_\kappa$.
En uno considera que teorías como la de Tarski-Grothendieck, o, equivalentemente, la teoría de la $\sf ZFC+$"Hay una clase adecuada inaccesibles de los cardenales", a continuación, se puede considerar el menos inaccesible como el universo de los conjuntos, y, a continuación, uno siempre puede encontrar una más grande y más grande el universo con más y más ordinales. Si uno va incluso más fuerte cardenales (por ejemplo, Woodin cardenales), a continuación, estas propiedades de "extender más y más alto" puede llegar a más y más fuerte.
Desde otro punto de vista, se puede considerar el multiverso enfoque propuesto por Joel D. Hamkins (ver J. D. Hamkins, El conjunto de la teoría de la multiverso, la Revisión de la Lógica Simbólica 5 (2012), 416-449.), que dice entre otras cosas que todo el universo de la teoría de conjuntos es realmente un modelo contable desde el punto de vista de otro universo (ver también este post en el blog de François Dorais).
Esta es mucho más fuerte suposición de que la clase adecuada inaccesibles de los cardenales. Allí tuvimos una secuencia de universos, cada uno más grande que el anterior, pero ninguno fue contable en cualquiera de las extensiones. De hecho, todos estuvieron de acuerdo en sus cardinalidades y conjuntos. En este caso, los universos se hacen más pequeños y más pequeños a medida que avanzamos.
Así, mientras el potencial infinito de principios del siglo 19 era algo de "la energía de un imparable objeto"; la clase de los números ordinales es algo mucho más aterrador en tamaño. Pero, al mismo tiempo, el cálculo de la noción de infinito es muy grueso y casi no manejable. Por otro lado, la clase de los números ordinales es una clase concreta (para un determinado universo, por supuesto), que puede ser manejado y manipulado internamente. A esto se añade por los hechos anteriores que los ordinales se puede hacer un juego de un universo más grande; o incluso una contables conjunto de un universo mucho mayor.
Sólo una breve nota histórica a Asaf la publicación. Michael Hallett más maravilloso libro Cantorian la teoría de conjuntos y la limitación de tamaño (OUP 1984) es una excelente fuente si usted quiere entender (1) algo más acerca de la pre-Cantorian concepciones del infinito (2) el Cantor de la distinción entre el transfinito y el Absoluto, y (3) cómo Cantor considerado por ejemplo, la colección de todos los ordinales.
Como Hallett curiosamente muestra, no fue un poderoso teológica de la unidad detrás de las ideas de Cantor, que sustenta su conjunto teórico del realismo. (Es una buena pregunta si modernas realistas que colocar los cimientos son lo mejor ...)
