Supongamos que $\sum a_{n}$ es una serie convergente de números reales. O bien, demostrar que $\sum b_{n}$ converge, o dar un contraejemplo, cuando definimos $b_{n}$ $\frac{a_{n}}{1+|a_{n}|}$.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Para la serie que tienen algunos términos negativos, esto no es necesariamente cierto. Le damos una familia de contraejemplos.
Considerar la serie $$a_1+a_1-2a_1+a_2+a_2-2a_2+a_3+a_3-2a_3+\cdots,$ $ donde el $a_i$ son una secuencia de términos positivos lentamente que se decae a $0$. La convergencia de la serie anterior es clara.
La serie modificada no necesita converger.
Para la serie modificada parece $$\frac{a_1}{1+a_1}+\frac{a_1}{1+a_1}-\frac{2a_1}{1+2a_1}+\frac{a_2}{1+a_2}+\frac{a_2}{1+a_2}-\frac{2a_2}{1+2a_2}+\cdots.$ $ si añadimos términos por grupos de tres, obtenemos $$\sum_{i=1}^\infty \frac{2a_i^2}{(1+a_i)(1+2a_i)}.$ $ elija por ejemplo $a_i=\dfrac{1}{i^{1/8}}$, y tenemos divergencia.
