Análogo de la $(a+b)^2 \leq 2(a^2 + b^2)$

Question

Hay una desigualdad por ejemplo $$(a+b)^2 \leq 2(a^2 + b^2)$ $ para potencias mayores de $k$ % $ $$(a+b)^k \leq C(a^k + b^k)?$

Answer 1

La desigualdad Media generalizada indica que $$\dfrac{a+b}2\leq \left(\dfrac{a^k+b^k}2\right)^{1/k},$ $ con igualdad si y sólo si $a=b$, de las cuales sigue eso $$(a+b)^k\leq 2^{k-1}(a^k+b^k),$ $ con igualdad si y sólo si $a=b$. Así $C=2^{k-1}$ trabaja y no trabaja menor $C$.

Answer 2

Tomar el cociente $$f(a, b)=\frac{(a+b)^k}{a^k+b^k}$$and observe that it is homogeneous of degree zero, that is $f(a, b) = f (\lambda a, \lambda b)$ for all $\lambda > 0$. So $f$ is constant along rays in $\mathbb{R}^2$ y, en particular, $ de $$f(a, b)\le \max_{(x, y)\in \mathbb{S}^1} f(x, y),$ $\mathbb{S}^1$ Dónde está el círculo unitario. Esto significa que la desigualdad buscada es verdad $C=\max_{\mathbb{S}^1} f(x,y)$. Puede comprobar que con $k=2$ recuperar $C=2$.

Answer 3

La primera desigualdad es verdadera porque: $2ab ≤ a^2+b^2$

No hay ninguna desigualdad específica para energías más altas de k, aunque siempre puede dar un valor muy superior de 'C' hacer la segunda verdadera desigualdad.