Hay 3 parejas casadas que deben sentarse en una fila recta de 6 asientos. Si las parejas se sientan al azar, ¿cuál es la probabilidad de que al menos un hombre se siente al lado de su esposa?
Y, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 33 (22, y 11 también) parejas estén juntas?
Intento
Número total de combinaciones: 6!=7206!=720
Quiero contar 33 conjuntos disjuntos.
A1A1: el número de combinaciones en las que hay exactamente 3 hombres junto a sus esposas, denotando cada pareja como PiPi tenemos 3!3! combinaciones posibles P1P2P3,P2P3P1,P1P2P3,P2P3P1, etc.. Pero cada pareja puede ordenarse de 2!2! formas entonces:
A1=3!2!2!2!=48A1=3!2!2!2!=48
A2A2: el número de combinaciones en las que hay exactamente 2 hombres junto a su esposa, denotando cada pareja como PiPi tenemos 4!−34!−3 combinaciones posibles si fijamos 22 parejas P1,P2P1,P2, ya que hay 2!32!3 de 4!4! combinaciones en las que la tercera pareja no está junta, es decir P1aP2bP1aP2b, aP1bP2aP1bP2 y aP1P2baP1P2b cambiando P1P1 con P2P2. Y como cada pareja puede ordenarse de 2!2! formas necesitamos agregar factores 2!2!2!2!2!2! como en el caso anterior. Entonces
A2=2!2!2!3(4!−2!3)=432A2=2!2!2!3(4!−2!3)=432 ¡Pero no estoy seguro!
Hay un error en A2=2!2!2!3(4!−2!3)=432A2=2!2!2!3(4!−2!3)=432, ya que 2!2!32!2!3 de 4!4! eran casos favorables. Entonces: A2=2!2!3(2!2!3)=2!432=144A2=2!2!3(2!2!3)=2!432=144 como señaló Brian.
A3A3: el número de combinaciones en las que hay exactamente 1 hombre junto a su esposa. No tengo idea de cómo calcular este monstruo.
A3=288A3=288 resuelto por Brian. A1+A2+A3=480A1+A2+A3=480