Contando 6 asientos 3 parejas

Question

Hay 3 parejas casadas que deben sentarse en una fila recta de 6 asientos. Si las parejas se sientan al azar, ¿cuál es la probabilidad de que al menos un hombre se siente al lado de su esposa?

Y, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente $3$ ($2$, y $1$ también) parejas estén juntas?

Intento

Número total de combinaciones: $6!=720$

Quiero contar $3$ conjuntos disjuntos.

$A_1$: el número de combinaciones en las que hay exactamente 3 hombres junto a sus esposas, denotando cada pareja como $P_i$ tenemos $3!$ combinaciones posibles $P_1 P_2 P_3, P_2P_3P_1,$ etc.. Pero cada pareja puede ordenarse de $2!$ formas entonces:

$A_1=3!2!2!2!=48$

$A_2$: el número de combinaciones en las que hay exactamente 2 hombres junto a su esposa, denotando cada pareja como $P_i$ tenemos $4!-3$ combinaciones posibles si fijamos $2$ parejas $P_1, P_2$, ya que hay $2!3$ de $4!$ combinaciones en las que la tercera pareja no está junta, es decir $P_1 a P_2 b$, $a P_1 b P_2$ y $a P_1 P_2 b$ cambiando $P_1$ con $P_2$. Y como cada pareja puede ordenarse de $2!$ formas necesitamos agregar factores $2!2!2!$ como en el caso anterior. Entonces

$A_2=2!2!2!3(4!-2!3)=432$ ¡Pero no estoy seguro!

Hay un error en $A_2=2!2!2!3(4!-2!3)=432$, ya que $2!2!3$ de $4!$ eran casos favorables. Entonces: $A_2=2!2!3(2!2!3)=2!^43^2=144$ como señaló Brian.

$A_3$: el número de combinaciones en las que hay exactamente 1 hombre junto a su esposa. No tengo idea de cómo calcular este monstruo.

$A_3=288$ resuelto por Brian. $A_1+A_2+A_3=480$

Answer 1

Para $A_2$ tienes una buena idea, pero has pasado por alto un detalle. Hay $3$ formas de elegir qué pareja no se sienta junta; este es el factor que te faltó. Luego hay $3$ formas de dividir esa pareja (tus $P_1aP_2b$, $aP_1bP_2$, y $aP_1P_2b$), $2$ formas de decidir qué pareja es $P_1$ y cuál es $P_2, y $2$ formas de sentar a los miembros de cada pareja, entonces

$$A_2=3\cdot3\cdot2\cdot2^3=9\cdot16=144\;.$$

En términos de tu cálculo, eso cambia $4!-2!\cdot3$ a $4!-3\cdot2!\cdot3=6$, y $2!^3\cdot3\cdot6=144$.

Probablemente la forma más fácil de calcular $A_3$ es restar el total de las otras tres posibilidades de $6!$, dado que ya las tienes.

Añadido: Dado que solo hay tres parejas, $A_4$ no es tan difícil de calcular a mano. Deja que $A$ sea la persona en el primer asiento en la fila; hay $6$ opciones para $A$. Deja que $A'$ sea el cónyuge de $A$. Cualquiera excepto $A'$ puede sentarse en el segundo asiento, por lo que hay 4 posibilidades; llama a la persona que se sienta allí $B$. Ahora divide el conteo en dos casos.

1. El tercer asiento lo ocupa $C$, un miembro de la tercera pareja. Hay $2$ formas de elegir $C$, así que en total hay $6\cdot4\cdot2$ formas de llenar los tres primeros asientos con miembros de tres parejas distintas. El cuarto asiento puede ser ocupado por $A'$ o $B\,'$, y en ambos casos las dos personas restantes pueden sentarse en cualquier orden, por lo que hay $2^2=4$ formas de completar la fila, para un total de $6\cdot4\cdot2\cdot4=192$ arreglos.

2. El tercer asiento lo ocupa $A'$, por lo que tenemos $ABA'$ en los tres primeros asientos. El resto de este cálculo está protegido para darte la oportunidad de terminarlo por ti mismo.

El cónyuge de $A'$ está en el primer asiento, por lo que a primera vista podría parecer que cualquiera de las 3 personas restantes puede ocupar el cuarto asiento. Sin embargo, si $B\,'$ lo ocupa, la tercera pareja se verá obligada a sentarse junta, por lo que en realidad debe ser ocupado por un miembro de la tercera pareja, digamos $C$, y los últimos tres asientos deben ser ocupados $CB\,'C'$: la única elección está en el orden de los dos miembros de la tercera pareja. Por lo tanto, este caso cuenta con otros $6\cdot4\cdot2=48$ arreglos. Combinando los resultados, vemos que $A_4=192+48=240$.