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Contando 6 asientos 3 parejas

Hay 3 parejas casadas que deben sentarse en una fila recta de 6 asientos. Si las parejas se sientan al azar, ¿cuál es la probabilidad de que al menos un hombre se siente al lado de su esposa?

Y, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 33 (22, y 11 también) parejas estén juntas?

Intento

Número total de combinaciones: 6!=7206!=720

Quiero contar 33 conjuntos disjuntos.

A1A1: el número de combinaciones en las que hay exactamente 3 hombres junto a sus esposas, denotando cada pareja como PiPi tenemos 3!3! combinaciones posibles P1P2P3,P2P3P1,P1P2P3,P2P3P1, etc.. Pero cada pareja puede ordenarse de 2!2! formas entonces:

A1=3!2!2!2!=48A1=3!2!2!2!=48

A2A2: el número de combinaciones en las que hay exactamente 2 hombres junto a su esposa, denotando cada pareja como PiPi tenemos 4!34!3 combinaciones posibles si fijamos 22 parejas P1,P2P1,P2, ya que hay 2!32!3 de 4!4! combinaciones en las que la tercera pareja no está junta, es decir P1aP2bP1aP2b, aP1bP2aP1bP2 y aP1P2baP1P2b cambiando P1P1 con P2P2. Y como cada pareja puede ordenarse de 2!2! formas necesitamos agregar factores 2!2!2!2!2!2! como en el caso anterior. Entonces

A2=2!2!2!3(4!2!3)=432A2=2!2!2!3(4!2!3)=432 ¡Pero no estoy seguro!

Hay un error en A2=2!2!2!3(4!2!3)=432A2=2!2!2!3(4!2!3)=432, ya que 2!2!32!2!3 de 4!4! eran casos favorables. Entonces: A2=2!2!3(2!2!3)=2!432=144A2=2!2!3(2!2!3)=2!432=144 como señaló Brian.

A3A3: el número de combinaciones en las que hay exactamente 1 hombre junto a su esposa. No tengo idea de cómo calcular este monstruo.

A3=288A3=288 resuelto por Brian. A1+A2+A3=480A1+A2+A3=480

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DiGi Puntos 1925

Para A2A2 tienes una buena idea, pero has pasado por alto un detalle. Hay 33 formas de elegir qué pareja no se sienta junta; este es el factor que te faltó. Luego hay 33 formas de dividir esa pareja (tus P1aP2bP1aP2b, aP1bP2aP1bP2, y aP1P2baP1P2b), 22 formas de decidir qué pareja es P1P1 y cuál es P2,yP2,y2$ formas de sentar a los miembros de cada pareja, entonces

A2=33223=916=144.A2=33223=916=144.

En términos de tu cálculo, eso cambia 4!2!34!2!3 a 4!32!3=64!32!3=6, y 2!336=1442!336=144.

Probablemente la forma más fácil de calcular A3A3 es restar el total de las otras tres posibilidades de 6!6!, dado que ya las tienes.

Añadido: Dado que solo hay tres parejas, A4A4 no es tan difícil de calcular a mano. Deja que AA sea la persona en el primer asiento en la fila; hay 66 opciones para AA. Deja que A sea el cónyuge de A. Cualquiera excepto A puede sentarse en el segundo asiento, por lo que hay 4 posibilidades; llama a la persona que se sienta allí B. Ahora divide el conteo en dos casos.

  1. El tercer asiento lo ocupa C, un miembro de la tercera pareja. Hay 2 formas de elegir C, así que en total hay 642 formas de llenar los tres primeros asientos con miembros de tres parejas distintas. El cuarto asiento puede ser ocupado por A o B, y en ambos casos las dos personas restantes pueden sentarse en cualquier orden, por lo que hay 22=4 formas de completar la fila, para un total de 6424=192 arreglos.

  2. El tercer asiento lo ocupa A, por lo que tenemos ABA en los tres primeros asientos. El resto de este cálculo está protegido para darte la oportunidad de terminarlo por ti mismo.

El cónyuge de A está en el primer asiento, por lo que a primera vista podría parecer que cualquiera de las 3 personas restantes puede ocupar el cuarto asiento. Sin embargo, si B lo ocupa, la tercera pareja se verá obligada a sentarse junta, por lo que en realidad debe ser ocupado por un miembro de la tercera pareja, digamos C, y los últimos tres asientos deben ser ocupados CBC: la única elección está en el orden de los dos miembros de la tercera pareja. Por lo tanto, este caso cuenta con otros 642=48 arreglos. Combinando los resultados, vemos que A4=192+48=240.

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