Pregunta de examen de calificación edad (análisis Real - posiblemente Teorema de la función implícita)

Question

La siguiente es una antigua clasificación de las preguntas del examen que ha dejado perplejos a mí:

Deje $f,g\in C^\infty(\mathbb{R}^3)$ ser real-funciones con valores tales que para algunos $x_0\in \mathbb{R}^3,$ tenemos $f(x_0) = g(x_0) = 0$ $df(x_0)$ $dg(x_0)$ linealmente independientes. Deje $S_f$ $S_g$ ser el cero conjuntos de $f$ $g$ respectivamente. Mostrar que si $h\in C^\infty(\mathbb{R}^3)$ se desvanece en $S_f\cup S_g,$ entonces existe una vecindad $U\ni x_0$ de manera tal que en $U,$ tenemos $h(x) = f(x)g(x)H(x),$ algunos $H\in C^\infty(U)$.

Mi pensamiento inicial fue que el teorema de la función implícita podría ser un buen lugar para empezar, pero no he sido capaz de hacer cualquier progreso. Todos los pensamientos son muy apreciadas.

Answer 1

He aquí una pregunta de calentamiento para usted. Supongamos $f\colon\Bbb R^2\to\Bbb R$ es suave y se desvanece en el $x$ - $y$- ejes. ¿Cómo podemos demostrar que $f(x,y) = xy g(x,y)$ para algunos liso función de $g$?

La herramienta importante en el análisis multivariable, a veces llamado el $C^\infty$ truco, es que si $f\colon \Bbb R^n\to\Bbb R$ es suave y se desvanece en el origen, entonces podemos escribir $f(x) = \sum\limits_{i=1}^n x_ig_i(x)$ para algunos las funciones lisas $g_i$. (Una pista acerca de cómo probar esto: Escribir $f(x)-f(0)=\int_0^1 \frac d{dt} f(tx)\,dt$.)

Así que usted debe ser capaz de aplicar los (dos veces) para responder a la pregunta que planteé en el primer párrafo.

Para llegar a esta situación en su problema, aplicar el teorema de la función inversa para obtener nuevas coordenadas $z_1,z_2,z_3$ en un barrio de la $x_0\in\Bbb R^3$ $z=0 \iff x=x_0$ y $z_1=f(x)$, $z_2=g(x)$.