¿Una equivalencia es una adjunción?

Question

Dejemos que $C$ y $D$ sean categorías y $F:C\to D$ , $G:D\to C$ dos funtores.

$F$ es articulación izquierda a $G$ si hay transformaciones naturales $\eta:id_C\to GF$ y $\epsilon:FG\to id_D$ tal que \begin{eqnarray} F&\xrightarrow{F\eta}&FGF&\xrightarrow{\epsilon F}F\\ G&\xrightarrow{\eta G}&GFG&\xrightarrow{G\epsilon}G \end{eqnarray} son las transformaciones de identidad (!).

$F$ es un equivalencia de categorías (con inversa $G$ ) si existen isomorfismos naturales $\eta:id_C\to GF$ y $\epsilon:FG\to id_D$ sin más propiedades.

Es $F$ unión a la izquierda con $G$ , si $F$ es una equivalencia de categorías (con inversa $G$ )?
Si no, supongamos que $F$ es una equivalencia de categorías con la inversa $G':D\to C$ y supongamos además que $F$ es conjunta a la izquierda con $G$ . ¿Se deduce que hay un isomorfismo natural $G\to G'$ o incluso hay una identidad $G=G'$ ?

Answer 1

Toda equivalencia puede ser "mejorada" a una equivalencia adyacente, pero es posible que haya que cambiar la unidad o el conteo: véase por ejemplo aquí para una prueba. Esencialmente se demuestra lo mismo que el Teorema 4.2.3 en el libro de Teoría de Tipos de Homotopía.