Teorema del binomio pasado examen pregunta, ¿qué hago?

Question

Tengo problemas para entender lo que voy a hacer en algunas de estas preguntas de matemáticas. He aquí una pregunta de examen a partir de una antigua examen:

Deje $A$ ser un conjunto con $n$ elementos. El número de subconjuntos de a $A$ $k$ elementos es ${n \choose k}$ o de: $$ C(n,k) = \frac{n!}{k!(n - k)!} $$ Mostrar que hay muchos subconjuntos de tener un número impar de elementos, ya que hay subconjuntos con un número par de elementos. SUGERENCIA: utilice el Teorema del Binomio de la forma: $$ (1 + x)^n = \sum_{k = 0}^n {n \choose k} x^k$$ A continuación, establezca $x = -1$.

Sólo debo elegir un número arbitrario de $n$, a continuación, establezca $x = -1$ y trabajar? No sé por qué tengo un problema de comprensión de estas preguntas. Gracias por tu ayuda.

Answer 1

Si establece $x=-1$ en su fórmula, entonces $$ 0=(1+(-1))^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}(-1)^k, $$ o dividir la suma en positivo y negativo partes $$ 0=\sum_{\substack{k=0 \\k\text{ par}}}^n \binom{n}{k}+\sum_{\substack{k=0 \\k\text{ impar}}}^n\binom{n}{k}(-1), $$ o, equivalentemente, $$ \sum_{\substack{k=0 \\k\text{ impar}}}^n\binom{n}{k}=\sum_{\substack{k=0 \\k\text{ par}}}^n\binom{n}{k}. $$ Tenga en cuenta que $$ \sum_{\substack{k=0 \\k\text{ par}}}^n\binom{n}{k}=\binom{n}{0}+\binom{n}{2}+\cdots $$ es exactamente el número de maneras de llevar a cabo un subconjunto de tamaño uniforme de un conjunto con $n$ elementos y de manera similar con $k$ impar.

Answer 2

Sugerencia: No utilice la sugerencia.

Asumir (necesariamente) que $n\ge 1$ y sea un elemento de $a$ $A$. Hay una biyección obvio entre a) los conjuntos impares con $a$ y los conjuntos aún no contiene $a$ (% de drop $a$del conjunto) y b) el impar no contiene $a$ y los juegos incluso con $a$ (agregar $a$ al conjunto). A esto da una biyección de conjuntos de pares e impares, especialmente los números son los mismos.

Answer 3

Empiezas con el conjunto de $A$ que cardinality es $n$. El número de subconjuntos de $A$ con cardinalities impares es $ \sum_{k:\text {impar}} {n \choose k} $$ y con incluso cardinalities es $ \sum_{k:\text {}} {n \choose k} $$ por lo que su diferencia es \sum_{k:\text$ {}} {n \choose k} - \sum_{k:\text {impar}} {n \choose k} = n \sum_{0\leq k\leq} {n \choose k}(-1) ^ k = (1+(-1)) ^ n = 0 $